Menjawab:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k atau x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # untuk integer # k. #
Penjelasan:
Saya telah mengerjakan ini dengan dua cara yang berbeda tetapi saya pikir cara ketiga ini adalah yang terbaik. Ada beberapa rumus sudut ganda untuk cosinus. Jangan tergoda oleh salah satu dari mereka. Mari kita hindari persamaan kuadrat juga.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Kombinasi linear dari cosinus dan sinus adalah fase cosinus bergeser.
Membiarkan # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # dan
# theta = text {Arc} text {tan} (2/1) #
Saya menunjukkan garis singgung terbalik utama, di sini di kuadran pertama, sekitar # theta = 63.4 ^ circ #. Kami yakin
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Jadi kita bisa menulis ulang persamaan kita
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Selalu ingat solusi umum untuk #cos x = cos a # aku s # x = pm a + 360 ^ circ k quad # untuk integer # k #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
Mengambil tanda satu per satu, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k atau x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # adalah konstanta yang dapat kami coba untuk mendapatkan ekspresi yang lebih baik untuk:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Kita tahu # phi # berada di kuadran kedua, tidak dalam kisaran nilai pokok yang biasa.
#phi = text {Arc} text {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Itu ternyata tidak masalah karena kami menambahkan # 180 ^ circ k # untuk # phi # dalam solusi umum pula. Menyatukan semuanya, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k atau x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Kita tidak harus teliti tentang nilai pokok arctan; karena kami menambahkan # 180 ^ circ k # nilai apa pun akan berlaku. Kita bisa menulis yang pertama # x = arctan (-3) # dengan # 180 ^ circ k # tersirat, tapi mari kita tinggalkan di sini.
