Mengapa Anda perlu menemukan bentuk trigonometri bilangan kompleks?

Bergantung pada apa yang perlu Anda lakukan dengan bilangan kompleks Anda, bentuk trigonometri bisa sangat berguna atau sangat sulit.

Sebagai contoh, mari # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # dan # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Mari kita hitung dua bentuk trigonometri:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # dan # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # dan # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # dan # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Jadi bentuk trigonometri adalah:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Tambahan

Katakanlah Anda ingin menghitung # z_1 + z_2 + z_3 #. Jika Anda menggunakan bentuk aljabar, Anda dapatkan

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Cukup mudah. Sekarang coba dengan bentuk trigonometri …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

ternyata cara terpendek untuk menambahkan dua ekspresi ini adalah dengan menyelesaikan cosinus dan sinus, yang berarti … beralih ke bentuk aljabar!

Bentuk aljabar sering merupakan bentuk terbaik untuk memilih dalam menambahkan bilangan kompleks.

Perkalian

Sekarang kami mencoba menghitung # z_1 * z_2 * z_3 #. Menggunakan bentuk aljabar membutuhkan banyak perhitungan yang menjengkelkan. Tetapi menyelesaikan produk ini dengan bentuk trigonometri lebih sederhana:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Bahan-bahan untuk membuktikan bahwa persamaan kedua berasal dari trigonometri: keduanya formula tambahan

#sin (alpha + beta) = sin (alpha) cos (beta) + sin (beta) cos (alpha) #

#cos (alpha + beta) = cos (alpha) cos (beta) -sin (alpha) sin (beta) #

Penggandaan bilangan kompleks bahkan lebih bersih (tetapi secara konsep tidak mudah) dalam bentuk eksponensial.

Dalam beberapa hal, bentuk trigonometri adalah semacam bentuk di antara antara bentuk aljabar dan eksponensial. Bentuk trigonometri adalah cara untuk beralih di antara keduanya. Dalam pengertian ini semacam "kamus" untuk "menerjemahkan" formulir.