Apa proyeksi dari (4 i + 4 j + 2 k) ke (i + j -7k)?

Menjawab:

Proyeksi vektor adalah #< -2/17,-2/17,14/17 >#, proyeksi skalar adalah # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Lihat di bawah.

Penjelasan:

Diberikan # veca = (4i + 4j + 2k) # dan # vecb = (i + j-7k) #, kita dapat menemukan #proj_ (vecb) veca #, itu vektor proyeksi # veca # ke # vecb # menggunakan rumus berikut:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Artinya, produk titik dari dua vektor dibagi dengan besarnya # vecb #, dikalikan dengan # vecb # dibagi dengan besarnya. Kuantitas kedua adalah kuantitas vektor, karena kita membagi vektor dengan skalar. Perhatikan bahwa kami membagi # vecb # oleh besarnya untuk mendapatkan a vektor satuan (vektor dengan besarnya #1#).Anda mungkin memperhatikan bahwa kuantitas pertama adalah skalar, seperti yang kita tahu bahwa ketika kita mengambil produk titik dari dua vektor, hasilnya adalah skalar.

Oleh karena itu, skalar proyeksi #Sebuah# ke # b # aku s #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, juga ditulis # | proj_ (vecb) veca | #.

Kita dapat mulai dengan mengambil produk titik dari dua vektor, yang dapat ditulis sebagai # veca = <4,4,2> # dan # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Maka kita dapat menemukan besarnya # vecb # dengan mengambil akar kuadrat dari jumlah kuadrat dari masing-masing komponen.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

Dan sekarang kami memiliki semua yang kami butuhkan untuk menemukan proyeksi vektor # veca # ke # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Anda dapat mendistribusikan koefisien ke setiap komponen vektor dan menulis sebagai:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

Proyeksi skalar dari # veca # ke # vecb # hanya bagian pertama dari rumus, di mana #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Oleh karena itu, proyeksi skalar adalah # -6 / sqrt (51) #, yang tidak menyederhanakan lebih jauh, selain untuk merasionalisasi penyebut jika diinginkan, memberi # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Semoga itu bisa membantu!