Berapakah orthocenter dari sebuah segitiga dengan sudut di (9, 5), (3, 8), dan (5, 6)?

Menjawab:

Langkah-langkah: (1) menemukan kemiringan 2 sisi, (2) menemukan kemiringan garis tegak lurus ke sisi-sisi itu, (3) menemukan persamaan garis dengan lereng-lereng yang melewati simpul-simpul yang berlawanan, (4) menemukan titik di mana garis-garis berpotongan, yang merupakan orthocenter, dalam hal ini #(6.67, 2.67)#.

Penjelasan:

Untuk menemukan orthocenter dari sebuah segitiga, kita menemukan kemiringan (gradien) dari dua sisinya, kemudian persamaan garis-garis yang tegak lurus terhadap sisi-sisi tersebut.

Kita dapat menggunakan lereng tersebut ditambah koordinat titik yang berlawanan dengan sisi yang relevan untuk menemukan persamaan garis yang tegak lurus terhadap sisi yang melewati sudut yang berlawanan: ini disebut 'ketinggian' untuk sisi.

Di mana ketinggian untuk dua sisi bersilangan adalah orthocenter (ketinggian untuk sisi ketiga juga akan melewati titik ini).

Mari beri label pada poin kami untuk membuatnya lebih mudah untuk merujuknya:

Titik A = #(9, 5)#

Titik B = #(3, 8)#

Titik C = #(5, 6)#

Untuk menemukan kemiringan, gunakan rumus:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Kami tidak menginginkan lereng ini, tetapi kemiringan garis tegak lurus (pada sudut kanan). Garis tegak lurus dengan garis dengan kemiringan # m # memiliki kemiringan # -1 / m #, jadi garis tegak lurus terhadap # AB # memiliki kemiringan #-2# dan garis tegak lurus terhadap # BC # memiliki kemiringan #1#.

Sekarang kita dapat menemukan persamaan ketinggian Titik C (berlawanan AB) dan Titik A (berlawanan BC) masing-masing dengan mengganti koordinat titik-titik tersebut ke dalam persamaan

# y = mx + c #

Untuk Titik C, ketinggiannya adalah:

# 6 = -2 (5) + c # pemberian yang mana # c = 6 + 10 = 16 # karena itu #y = -2x + 16 #

Demikian pula untuk Titik A:

# 5 = 1 (9) + c # pemberian yang mana # c = 5-9 = -4 # jadi persamaannya adalah:

# y = x-4 #

Untuk menemukan orthocenter, kita hanya perlu menemukan titik di mana kedua garis ini bersilangan. Kita bisa menyamakan mereka satu sama lain:

# -2x + 16 = x-4 #

Mengatur ulang, # 3x = 20 hingga x ~~ 6.67 #

Pengganti menjadi persamaan untuk menemukan # y # nilai, yaitu #2.67#.

Karenanya orthocenter adalah intinya #(6.67, 2.67)#.