Mari kita mulai dengan fungsi tanpa # m #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Fungsi ini tentunya memiliki # x = 0 # sebagai root, karena kami memfaktorkan # x #.
Akar lainnya adalah solusi dari # x ^ 2-2x + 2 = 0 #, tetapi parabola ini tidak memiliki akar. Ini berarti bahwa polinomial asli hanya memiliki satu root.
Sekarang, jumlahnya banyak #p (x) # derajat aneh selalu setidaknya satu solusi, karena Anda punya
#lim_ {x to- infty} p (x) = - infty # dan #lim_ {x to infty} p (x) = infty #
dan #p (x) # kontinu, sehingga harus melewati # x # sumbu di beberapa titik.
Jawabannya datang dari dua hasil berikut:
- Polinomial derajat # n # memiliki persis # n # akar yang kompleks, tetapi paling banyak # n # akar nyata
- Diberikan grafik #f (x) #, grafik dari #f (x) + k # memiliki bentuk yang sama, tetapi diterjemahkan secara vertikal (ke atas jika #k> 0 #, turun jika tidak).
Jadi, kita mulai dari # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, yang hanya memiliki satu akar nyata (dan dengan demikian dua akar kompleks) dan kami mengubahnya menjadi # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, yang berarti kami menerjemahkannya ke atas atau ke bawah, jadi kami tidak mengubah jumlah solusi.
Beberapa contoh:
Fungsi asli: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
grafik {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Terjemahkan up: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
grafik {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Terjemahkan ke bawah: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
grafik {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Seperti yang Anda lihat, selalu ada satu root
Menjawab:
Lihat di bawah
Penjelasan:
Alternatif, solusi yang mungkin lebih elegan:
turunan dari polinomial Anda adalah # 3x ^ 2-4x + 2 #, Yang merupakan parabola cekung tanpa akar, dan dengan demikian selalu positif. Begitu, # f # aku s:
- Meningkat secara monoton
- #lim_ {x to pm infty} f (x) = pm infty #
- # "deg" (f) = 3 #
Dua poin pertama menunjukkan itu # f # memiliki tepat satu akar, dan yang ketiga bahwa dua akar lainnya kompleks.
