Pertanyaan # 35a7e

Menjawab:

Seperti disebutkan dalam komentar di bawah, ini adalah seri MacLaurin untuk #f (x) = cos (x) #, dan kita tahu bahwa ini menyatu # (- oo, oo) #. Namun, jika Anda ingin melihat prosesnya:

Penjelasan:

Karena kami memiliki faktorial dalam penyebut, kami menggunakan uji rasio, karena ini membuat penyederhanaan sedikit lebih mudah. Formula ini adalah:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Jika ini <1, seri Anda akan bertemu

Jika ini> 1, seri Anda akan menyimpang

Jika ini = 1, tes Anda tidak dapat disimpulkan

Jadi, mari kita lakukan ini:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Catatan: Berhati-hatilah dengan bagaimana Anda memasukkan (k + 1) Anda. 2k akan berubah menjadi 2 (k + 1), BUKAN 2k + 1.

Saya dikalikan dengan kebalikan dari # x ^ (2k) / ((2k)!) # alih-alih membagi hanya untuk membuat pekerjaan sedikit lebih mudah.

Sekarang, mari aljabar. Karena nilai absolut, istilah bolak-balik kami (mis. # (- 1) ^ k #) hanya akan dibatalkan, karena kami akan selalu memiliki jawaban positif:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Kami dapat membatalkan # x ^ (2k) #:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Sekarang kita perlu membatalkan faktorial.

Ingat itu # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Juga, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Melihat:

# (2k)! = warna (merah) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * warna (merah) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Seperti yang Anda lihat, kami # (2k)! # pada dasarnya adalah bagian dari # (2k + 2)! #. Kami dapat menggunakan ini untuk membatalkan setiap istilah umum:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Batal (warna (merah) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * membatalkan (warna (merah) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Ini pergi

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / (2k + 2) (2k + 1)))) #

Sekarang, kita dapat mengevaluasi batas ini. Perhatikan bahwa karena kami tidak mengambil batas ini sehubungan dengan # x #, kita bisa memperhitungkannya:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / (2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Jadi seperti yang Anda lihat, batas ini = 0, yang kurang dari 1. Sekarang, kita bertanya pada diri sendiri: apakah ada nilai # x # yang batasnya adalah 1? Dan jawabannya tidak, karena apa pun yang dikalikan dengan 0 adalah 0.

Jadi sejak itu #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # untuk semua nilai # x #, kita dapat mengatakan bahwa ia memiliki interval konvergensi # (- oo, oo) #.

Semoga itu membantu:)