Apa proyeksi dari (i -2j + 3k) ke (3i + 2j - 3k)?

Menjawab:

#proj_vec v vec u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

Penjelasan:

Untuk membuatnya lebih mudah untuk merujuk mereka, mari kita panggil vektor pertama #vec u # dan yang kedua #vec v #. Kami ingin proyek #vec u # ke #vec v #:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v #

Artinya, dalam kata-kata, proyeksi vektor #vec u # ke vektor #vec v # adalah produk titik dari dua vektor, dibagi dengan kuadrat panjangnya #vec v # vektor kali #vec v #. Perhatikan bahwa potongan di dalam tanda kurung adalah skalar yang memberi tahu kita sejauh apa arahnya #vec v # proyeksi mencapai.

Pertama, mari kita cari panjangnya #vec v #:

# || vec v || = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

Tetapi perhatikan bahwa dalam ekspresi apa yang sebenarnya kita inginkan adalah # || vec v || ^ 2 #, jadi jika kita menyiku kedua sisi kita hanya mendapatkan #22#.

Sekarang kita membutuhkan produk titik #vec u # dan #vec v #:

#vec u * vec v = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(untuk menemukan produk titik, kami mengalikan koefisien dari #i, j dan k # dan tambahkan mereka)

Sekarang kami memiliki semua yang kami butuhkan:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j 3k) #

# = (- 30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #