Apa antiderivatif dari (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Menjawab:

Jawabannya adalah # x + arctan (x) #

Penjelasan:

Catatan pertama bahwa: # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # dapat ditulis sebagai # (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) #

# => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = int 1 dx + int 1 / (1+ x ^ 2) dx = x + int 1 / (1 + x ^ 2) dx = #

Turunan dari #arctan (x) # aku s # 1 / (1 + x ^ 2) #.

Ini menyiratkan bahwa antiderivatif dari # 1 / (1 + x ^ 2) # aku s #arctan (x) #

Dan atas dasar itulah kita dapat menulis: #int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) #

Karenanya, #int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) + c #

Jadi antiderivatif dari # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # aku s #warna (biru) (x + arctan (x)) #

# "NB:" #

Jangan bingung # antiderivative # dengan integral tak terbatas

Antiderivatif tidak melibatkan konstanta. Bahkan menemukan antiderivatif tidak berarti terintegrasi!