Bagaimana mengatasi 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Menjawab:

Kami dapat memecahkan pertanyaan ini secara grafis.

Penjelasan:

Persamaan yang diberikan # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # dapat ditulis ulang sebagai

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Sekarang ambil keduanya sebagai fungsi terpisah

#f (x) = 2e ^ (x) # dan #g (x) = 7-2x # dan plot grafik mereka; mereka titik persimpangan akan menjadi larutan ke persamaan yang diberikan # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Ini ditunjukkan di bawah ini: -

Menjawab:

Aljabar luar sekolah menengah ini, dan cara terbaik untuk menyelesaikannya adalah dengan bertanya kepada Wolfram Alpha siapa yang menjawab #x sekitar.94 #.

Penjelasan:

Memecahkan

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Pertanyaan seperti ini umumnya sulit, dan jawabannya tergantung apakah Anda berada di Aljabar di sekolah menengah atau lebih dalam matematika.

Untuk sekolah menengah atas, pendekatan terbaik adalah dengan mencoba beberapa angka kecil dan melihat apakah mereka berhasil. (Ini bekerja untuk banyak, banyak masalah matematika SMA, fyi.) Sebenarnya hanya ada satu rasional # x # itu membuat # e ^ x # rasional, # x = 0 #, yang bukan solusi. Jadi menebak tidak akan berhasil di sini.

Jika perkiraan cukup baik, kita bisa membuat grafiknya, atau grafik # 2e ^ x # dan # 7-2x # dan lihat di mana mereka bertemu.

Apa pun level Anda, ketika dihadapkan dengan yang sulit seperti ini, biasanya merupakan langkah yang baik untuk bertanya kepada pakar yang tersedia, yaitu Wolfram Alpha.

Kami melihat Alpha memberi kami jawaban perkiraan, cukup dekat dengan 1, dan bahkan rumus menggunakan W (x), yang merupakan Lambert Product Log, yang biasanya bukan bagian dari matematika sekolah menengah.

Tidak ada jawaban menggunakan fungsi dan operasi reguler yang kita ketahui di Aljabar sekolah menengah. Itu umumnya benar ketika kita menambahkan istilah dengan # x # dalam eksponen ke satu tempat # x # muncul sebagai kekuatan linier atau lebih tinggi.

Itulah akhir jawaban bagi sebagian besar siswa. Tapi kita bisa masuk lebih dalam. Log produk adalah fungsi yang menarik.Pertimbangkan persamaannya

#k = xe ^ x #

Di sisi kanan adalah peningkatan fungsi # x #, jadi itu akan menyeberang # k # cepat atau lambat. Mengambil log tidak benar-benar membawa kita ke mana pun: #ln k = ln x + x #.

Kami membutuhkan sesuatu seperti log, tetapi bukan yang kebalikannya # e ^ x #. Perlu kebalikan dari # xe ^ x #. Itu disebut Product Log atau fungsi Lambert W, didefinisikan sebagai:

#k = xe ^ x # memiliki solusi nyata #x = W (k) #.

Kami akan membatasi perhatian kami pada real. Sangat menyenangkan untuk mencoba menemukannya # W '#s properti. Yang mendasar yang kami berikan adalah

#W (xe ^ x) = x #

Mari kita biarkan # x = kamu ^ y # berikut ini begitu #W (x) = y #. Sekarang

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Itu keren. Bagaimana tentang

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Mengambil log, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # asumsi log didefinisikan

Sekarang Anda melihat bagaimana rasanya bekerja dengan W, lihat apakah Anda dapat menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan, atau untuk memeriksa solusi Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #