Apa semua nilai untuk k yang int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

dan

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # tapi

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # dan

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # begitu

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

atau

# {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

lalu akhirnya

nilai nyata #k = {-2,2} #

nilai-nilai kompleks #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Menjawab:

# k = + - 2 #

Penjelasan:

Kami membutuhkan:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integrasi kita dapatkan:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 warna (putih) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Berasumsi bahwa #k dalam RR # (sebenarnya ada #6# akar, #4# yang kompleks)

Sekarang, tergantung pada konteks masalahnya, orang dapat membantahnya #k <2 # (yaitu # k = -2 #) tidak valid sebagai #k> = 2 # untuk membuat internal "tepat" sehingga mengecualikan solusi itu, tetapi tanpa konteks apa pun masuk akal untuk memasukkan kedua solusi.

Juga, perhatikan itu #k = + - 2 # dapat ditunjukkan sebagai solusi tanpa benar-benar melakukan integrasi apa pun.

Pertama, properti integral tertentu adalah:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

jadi kita bisa langsung membangun # k = 2 # adalah solusinya.

Kedua, # x ^ 5 # adalah aneh fungsi, dan fungsi aneh memenuhi:

# f (-x) = f (x) #

dan memiliki simetri rotasi tentang asal. dengan demikian, jika #f (x) # itu aneh:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

jadi kita bisa langsung membangun # k = -2 # adalah solusinya.

Namun integrasi dan perhitungan selanjutnya membuktikan bahwa ini adalah satu-satunya solusi!