Pada interval berapa persamaan berikut cekung ke atas, cekung ke bawah dan di mana titik beloknya adalah (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Menjawab:

• jika # 0 <x <e ^ (- 15/56) # kemudian # f # aku s cekung ke bawah;
• jika #x> e ^ (- 15/56) # kemudian # f # aku s cekung;
• # x = e ^ (- 15/56) # adalah (jatuh) titik belok

Penjelasan:

Untuk menganalisis titik konkavitas dan infleksi dari fungsi yang dapat dibedakan dua kali # f #, kita dapat mempelajari positif dari turunan kedua. Padahal, jika # x_0 # adalah titik dalam domain # f #, kemudian:

• jika #f '' (x_0)> 0 #, kemudian # f # aku s cekung di lingkungan # x_0 #;
• jika #f '' (x_0) <0 #, kemudian # f # aku s cekung ke bawah di lingkungan # x_0 #;
• jika #f '' (x_0) = 0 # dan tanda #f '' # di lingkungan kanan cukup kecil dari # x_0 # berlawanan dengan tanda #f '' # di lingkungan kiri yang cukup kecil # x_0 #, kemudian # x = x_0 # disebut titik belok dari # f #.

Dalam kasus spesifik #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, kami memiliki fungsi yang domainnya harus dibatasi untuk real positif #RR ^ + #.

Derivatif pertama adalah

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Derivatif kedua adalah

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Mari kita pelajari positifnya #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Jadi, mengingat bahwa domainnya adalah #RR ^ + #, kami mengerti

• jika # 0 <x <e ^ (- 15/56) # kemudian #f '' (x) <0 # dan # f # aku s cekung ke bawah;
• jika #x> e ^ (- 15/56) # kemudian #f '' (x)> 0 # dan # f # aku s cekung;
• jika # x = e ^ (- 15/56) # kemudian #f '' (x) = 0 #. Mengingat itu di sebelah kiri titik ini #f '' # negatif dan di sebelah kanan positif, kami menyimpulkan itu # x = e ^ (- 15/56) # adalah (jatuh) titik belok