Apa turunan dari x ^ n?

Untuk fungsinya #f (x) = x ^ n #, n seharusnya tidak sama dengan 0, untuk alasan yang akan menjadi jelas. n juga harus berupa bilangan bulat atau bilangan rasional (mis. sebagian kecil).

Aturannya adalah:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Dengan kata lain, kita "meminjam" kekuatan x dan menjadikannya koefisien turunan, dan kemudian mengurangi 1 dari kekuatan x.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Seperti yang saya sebutkan, kasus khusus adalah di mana n = 0. Ini artinya

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Kita dapat menggunakan aturan kita dan secara teknis dapatkan jawaban yang benar:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Namun, nanti di trek, kita akan mengalami komplikasi ketika kita mencoba menggunakan kebalikan dari aturan ini.

Menjawab:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Di bawah ini adalah bukti untuk setiap angka, tetapi hanya bukti untuk semua bilangan bulat yang menggunakan keahlian dasar dari definisi derivatif. Bukti untuk semua rasional menggunakan aturan rantai dan untuk irasional menggunakan diferensiasi implisit.

Penjelasan:

Yang sedang berkata, saya akan menunjukkan semuanya di sini, sehingga Anda dapat memahami prosesnya. Berhati-hatilah #akan# cukup panjang.

Dari #y = x ^ (n) #, jika #n = 0 # kita punya #y = 1 # dan turunan dari konstanta selalu nol.

Jika # n # adalah bilangan bulat positif lainnya yang dapat kita lemparkan ke rumus turunan dan gunakan teorema binomial untuk menyelesaikan kekacauan.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Dimana # K_i # adalah konstanta yang sesuai

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Membagi itu # h #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Kita bisa mengambil term pertama dari jumlah tersebut

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Mengambil batas, semua yang lainnya masih dalam jumlah masuk ke nol. Menghitung # K_1 # kita melihat bahwa itu sama # n #jadi

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Untuk # n # yang bilangan bulat negatif itu sedikit lebih rumit. Mengetahui bahwa # x ^ -n = 1 / x ^ b #, seperti yang #b = -n # dan karenanya positif.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Keluarkan istilah pertama

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Ambillah batas, Di mana # K_1 = b #, mensubstitusi kembali ke # n #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Untuk rasional kita perlu menggunakan aturan rantai. Yaitu.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Jadi, tahu itu # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # dan dengan asumsi #n = 1 / b # kita punya

# (x ^ n) ^ b = x #

Jika # b # bahkan, jawabannya secara teknis # | x | # tetapi ini cukup dekat untuk tujuan kita

Jadi, menggunakan aturan rantai yang kita miliki

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

Dan last but not least, menggunakan diferensiasi implisit kita dapat membuktikan untuk semua bilangan real, termasuk irasional.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #