Dengan menggunakan definisi konvergensi, bagaimana Anda membuktikan bahwa urutan {2 ^ -n} menyatu dari n = 1 hingga tak terbatas?

$Dengan menggunakan definisi konvergensi, bagaimana Anda membuktikan bahwa urutan {2 ^ -n} menyatu dari n = 1 hingga tak terbatas?$

Menjawab:

Gunakan properti dari fungsi eksponensial untuk menentukan N seperti # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # untuk setiap # m, n> N #

Penjelasan:

Definisi konvergensi menyatakan bahwa #{sebuah}# konvergen jika:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Jadi, diberikan #epsilon> 0 # mengambil #N> log_2 (1 / epsilon) # dan # m, n> N # dengan #m <n #

Sebagai #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # begitu # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Sekarang sebagai # 2 ^ x # selalu positif, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #jadi

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

Dan sebagai # 2 ^ (- x) # secara ketat menurun dan #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Tapi:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Begitu:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

P.E.

Dengan menggunakan definisi konvergensi, bagaimana Anda membuktikan bahwa urutan {5+ (1 / n)} menyatu dari n = 1 hingga tak terbatas?

Biarkan: a_n = 5 + 1 / n lalu untuk m, n di NN dengan n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) sebagai n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n dan sebagai 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Dengan diberi nomor nyata epsilon> 0, pilih bilangan bulat N> 1 / epsilon. Untuk sembarang bilangan bulat m, n> N kita memiliki: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon yang membuktikan kondisi Cauchy untuk konvergensi urutan.

Dengan menggunakan definisi konvergensi, bagaimana Anda membuktikan bahwa urutan lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 menyatu?

Dengan nomor epsilon> 0 pilih M> 1 / sqrt (6epsilon), dengan M dalam NN. Kemudian, untuk n> = M kita memiliki: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon dan jadi: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon yang membuktikan batas.

Bagaimana Anda menggunakan Tes Integral untuk menentukan konvergensi atau divergensi seri: jumlah n e ^ -n dari n = 1 hingga tak terbatas?

Ambil integral int_1 ^ ooxe ^ -xdx, yang terbatas, dan perhatikan bahwa ia mengikat sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Oleh karena itu konvergen, jadi jumlah_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) juga. Pernyataan formal dari tes integral menyatakan bahwa jika sirip [0, oo) memperbaikiRR fungsi penurunan monoton yang non-negatif. Maka jumlah sum_ (n = 0) ^ oof (n) adalah konvergen jika dan hanya jika "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx terbatas. (Tau, Terence. Analisis I, edisi kedua. Agen buku Hindustan. 2009). Pernyataan ini mungkin tampak agak teknis, tetapi idenya adalah sebagai berikut. Mengambil dalam kasus ini fungsi f (x)