Menjawab:
# -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Penjelasan:
Mulailah dengan menggunakan aturan penjumlahan untuk integral dan membaginya menjadi dua integral terpisah:
# intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
Mini-integral pertama ini diselesaikan menggunakan integrasi oleh bagian-bagian:
Membiarkan # u = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# dv = e ^ (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) #
Sekarang menggunakan integrasi dengan formula bagian # intudv = uv-intvdu #, kita punya:
# intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
Yang kedua adalah kasus aturan kekuasaan terbalik, yang menyatakan:
# intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Begitu # int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Karena itu, # intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (ingat untuk menambahkan konstanta integrasi!)
Kami diberi kondisi awal #f (0) = 1 #jadi:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Membuat substitusi akhir ini, kami mendapatkan solusi akhir kami:
# intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
