Tolong bantu saya dalam hal ini, bagaimana cara melakukannya?

Menjawab:

#k = 3 #

Penjelasan:

Menggunakan sifat-sifat eksponen itu # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # dan # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, kita punya

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Demikian #13!# habis dibagi # 24 ^ k # jika dan hanya jika #13!# habis dibagi # 2 ^ (3k) # dan habis dibagi # 3 ^ k #.

Kita bisa tahu kekuatan terbesar dari #2# yang mana #13!# dibagi dengan jika kita melihat faktor-faktornya yang dapat dibagi #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Karena tidak ada faktor aneh yang berkontribusi terhadap faktor #2#, kita punya

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

dimana # m # adalah bilangan bulat yang tidak dapat dibagi oleh #2#. Dengan demikian, kita tahu itu #13!# habis dibagi # 2 ^ (3k) # jika dan hanya jika #2^10# habis dibagi # 2 ^ (3k) #, berarti # 3k <= 10 #. Sebagai # k # adalah bilangan bulat, artinya #k <= 3 #.

Selanjutnya, kita dapat melihat faktor mana dari #13!# habis dibagi #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Karena tidak ada faktor lain #13!# berkontribusi faktor apa pun dari #3#, ini berarti

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

dimana # n # adalah bilangan bulat yang tidak dapat dibagi oleh #3#. Dengan demikian, kita tahu itu #3^5# habis dibagi # 3 ^ k #, berarti #k <= 5 #.

Bilangan bulat non-negatif terbesar memenuhi kendala #k <= 3 # dan #k <= 5 # aku s #3#, memberi kami jawaban # k = 3 #.

Kalkulator akan memverifikasi itu #(13!)/24^3 = 450450#sedangkan #(13!)/24^4=18768.75#