Menjawab:
Petunjuk 1: Misalkan dia persamaan # x ^ 2 + x-u = 0 # dengan # u # sebuah integer memiliki solusi integer # n #. Menunjukkan bahwa # u # bahkan.
Penjelasan:
Jika # n # adalah solusinya ada bilangan bulat # m # seperti yang
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Dimana #nm = u # dan # m-n = 1 #
Tetapi persamaan kedua mensyaratkan hal itu #m = n + 1 #
Sekarang keduanya # m # dan # n # adalah bilangan bulat, jadi salah satu dari # n #, # n + 1 # bahkan dan #nm = u # bahkan.
Dalil
Jika # u # adalah bilangan bulat ganjil, maka persamaannya # x ^ 2 + x - u = 0 # tidak memiliki solusi yang merupakan bilangan bulat.
Bukti
Misalkan ada solusi integer # m # dari persamaan:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
dimana # u # adalah bilangan bulat ganjil. Kita harus memeriksa dua kemungkinan kasus:
# m # aneh; atau
# m # bahkan.
Pertama, mari kita perhatikan kasusnya dimana # m # aneh, maka ada bilangan bulat # k # seperti yang:
# m = 2k + 1 #
Sekarang, sejak itu # m # adalah akar dari persamaan kami, haruslah itu:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
Dan kami memiliki kontradiksi, seperti # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # bahkan, tapi # u # aneh.
Selanjutnya, mari kita perhatikan kasusnya dimana # m # bahkan, maka ada bilangan bulat # k # seperti yang:
# m = 2k #
Demikian pula sejak itu # m # adalah akar dari persamaan kami, haruslah itu:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
Dan, sekali lagi, kita memiliki kontradiksi, seperti # 2 (2k ^ 2 + k) # bahkan, tapi # u # aneh.
Jadi kami telah membuktikan bahwa tidak ada solusi bilangan bulat dari persamaan # x ^ 2 + x - u = 0 # dimana # u # adalah bilangan bulat ganjil.
Oleh karena itu proposisi terbukti. QED
Menjawab:
Lihat di bawah.
Penjelasan:
Jika # x ^ 2 + x-u = 0 # kemudian
#x (x + 1) = u # lalu jika # x # adalah bilangan bulat, #x (x + 1) # bahkan, menjadi kontradiksi karena # u # oleh hipotesis aneh.
