Apa turunan dari y = (sinx) ^ x?

Menjawab:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Penjelasan:

Gunakan diferensiasi logaritmik.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Gunakan properti dari # ln #)

Bedakan secara tersirat: (Gunakan aturan produk dan ruel rantai)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Jadi kita punya:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Pecahkan untuk # dy / dx # dengan mengalikan dengan #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Menjawab:

# d / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Penjelasan:

Cara termudah untuk melihat ini menggunakan:

# (sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (xln (sinx)) #

Mengambil turunan dari ini memberi:

# d / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) #

# = (ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Sekarang kita harus perhatikan bahwa jika # (sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # tidak terdefinisi.

Namun, ketika kami menganalisis perilaku fungsi di sekitar # x #Untuk yang ini berlaku, kami menemukan bahwa fungsi berperilaku cukup baik untuk bekerja, karena, jika:

# (sinx) ^ x # pendekatan 0

kemudian:

#ln ((sinx) ^ x) # akan mendekati # -oo #

begitu:

# e ^ (ln ((sinx) ^ x)) # akan mendekati 0 juga

Selanjutnya, kami mencatat bahwa jika #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # akan menjadi bilangan kompleks; Namun, semua aljabar dan kalkulus yang kami gunakan bekerja di bidang kompleks juga, jadi ini bukan masalah.

Menjawab:

Lebih umum …

Penjelasan:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #