Temukan nilai x yang seri berikut konvergen?

Menjawab:

#1<>

Penjelasan:

Ketika mencoba menentukan jari-jari dan / atau interval konvergensi rangkaian daya seperti ini, yang terbaik adalah menggunakan Uji Rasio, yang memberi tahu kita untuk rangkaian # suma_n #kami biarkan

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Jika #L <1 # seri ini benar-benar konvergen (dan karenanya konvergen)

Jika #L> 1 #, seri itu menyimpang.

Jika # L = 1, # Uji Rasio tidak meyakinkan.

Namun untuk Power Series, ada tiga case yang memungkinkan

Sebuah. Seri daya bertemu untuk semua bilangan real; interval konvergensi adalah # (- oo, oo) #

b. Seri daya bertemu untuk beberapa nomor # x = a; # radius konvergensinya adalah nol.

c. Kasus yang paling sering terjadi, seri daya konvergen # | x-a |<> dengan interval konvergensi # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Jadi jika # | 2x-3 | <1 #, seri bertemu. Tetapi kita membutuhkan ini dalam bentuk # | x-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # menghasilkan konvergensi. Jari-jari konvergensi adalah # R = 1 / 2. #

Sekarang, mari kita tentukan intervalnya:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Kita harus pasang # x = 1, x = 2 # ke dalam seri asli untuk melihat apakah kita memiliki konvergensi atau divergensi pada titik akhir ini.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # diverges, sumand tidak memiliki batas dan tentu saja tidak pergi ke nol, itu hanya bergantian tanda.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # menyimpang juga oleh Uji Divergence, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Oleh karena itu, seri bertemu untuk #1<>

Kita dapat menggunakan uji rasio yang mengatakan bahwa jika kita memiliki seri

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

itu pasti konvergen jika:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

Dalam kasus kami, # a_n = (2x-3) ^ n #, jadi kami memeriksa batasnya:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) batalkan ((2x-3)) ^ n)) / batal ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Jadi, kita perlu memeriksa kapan # | 2x-3 | # kurang dari #1#:

Saya membuat kesalahan di sini, tetapi jawaban di atas memiliki metode yang sama dan jawaban yang benar, jadi lihat saja itu.