Apa yang dimaksud dengan batas urutan tak terbatas?

Batas urutan tak terbatas memberi tahu kita tentang perilaku jangka panjangnya.

Diberi urutan bilangan real #sebuah#, itu batasnya #lim_ (n to oo) a_n = lim a_n # didefinisikan sebagai nilai tunggal urutan pendekatan (jika mendekati nilai apa pun) saat kita membuat indeks # n # lebih besar. Batas urutan tidak selalu ada. Jika ya, urutannya dikatakan konvergen, jika tidak dikatakan demikian berbeda.

Dua contoh sederhana:

• Pertimbangkan urutannya # 1 / n #. Sangat mudah untuk melihat bahwa itu adalah batasnya #0#. Bahkan, diberi nilai positif mendekati #0#, kita dapat selalu menemukan nilai yang cukup bagus # n # seperti yang # 1 / n # kurang dari nilai yang diberikan ini, yang berarti batasnya harus kurang atau sama dengan nol. Juga, setiap istilah urutannya lebih besar dari nol, jadi batasnya harus lebih besar atau sama dengan nol. Karena itu #0#.

• Ambil urutan konstan #1#. Artinya, untuk nilai apa pun yang diberikan # n #, syarat #sebuah# urutannya sama dengan #1#. Sudah jelas bahwa seberapa besar pun kita menghasilkan # n # nilai urutannya adalah #1#. Jadi batasnya adalah #1#.

Untuk definisi yang lebih ketat, mari #sebuah# menjadi urutan bilangan real (yaitu, #forall n di NN: a_n di RR #) dan #epsilon dalam RR #. Lalu angkanya #Sebuah# dikatakan sebagai membatasi dari urutan #sebuah# jika dan hanya jika:

#forall epsilon> 0 ada N di NN: n> N => | a_n - a | <epsilon #

Definisi ini setara dengan definisi informal yang diberikan di atas, kecuali bahwa kita tidak perlu memaksakan unicity untuk batas (dapat disimpulkan).