Buktikan bahwa fungsi tidak dibatasi x_0 = 0? + Contoh

Menjawab:

Lihat penjelasannya.

Penjelasan:

Menurut definisi Heine tentang batas fungsi yang kita miliki:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Jadi untuk menunjukkan bahwa suatu fungsi memiliki TIDAK batas pada # x_0 # kita harus menemukan dua urutan # {x_n} # dan # {bar (x) _n} # seperti yang

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _n = x_0 #

dan

#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) #

Dalam contoh yang diberikan, urutan tersebut dapat:

# x_n = 1 / (2 ^ n) # dan #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Kedua urutan bertemu # x_0 = 0 #, tetapi sesuai dengan rumus fungsi yang kami miliki:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

karena semua elemen dalam # x_n # berada di #1,1/2,1/4,…#

dan untuk #bar (x) _n # kita punya:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

tapi untuk semua #n> = 2 # kita punya: #f (bar (x) _n) = 1 #

Maka untuk #n -> + oo # kita punya:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)

Kedua urutan tertutup untuk # x_0 = 0 #, tetapi batas (*) dan (**) adalah TIDAK sama, jadi batasnya #lim_ {x-> 0} f (x) # tidak ada.

QED

Definisi batas dapat ditemukan di Wikipedia di:

Menjawab:

Berikut ini adalah bukti yang menggunakan negasi dari definisi keberadaan batas.

Penjelasan:

Versi pendek

#f (x) # tidak dapat mendekati angka tunggal # L # karena di lingkungan manapun #0#, fungsinya # f # mengambil nilai yang berbeda satu sama lain oleh #1#.

Jadi, tidak peduli apa yang seseorang usulkan # L #, ada poin # x # dekat #0#dimana #f (x) # setidaknya #1/2# unit jauh dari # L #

Versi panjang

#lim_ (xrarr0) f (x) # ada jika dan hanya jika

ada angka, # L # seperti itu untuk semua #epsilon> 0 #, ada sebuah #delta> 0 # sedemikian rupa untuk semua # x #, # 0 <abs (x) <delta # tersirat #ab (f (x) -L) <epsilon #

Negasi dari ini adalah:

#lim_ (xrarr0) f (x) # gagal ada jika dan hanya jika

untuk setiap nomor, # L # ada sebuah #epsilon> 0 #, sedemikian rupa untuk semua #delta> 0 # ada sebuah # x #, seperti yang # 0 <abs (x) <delta # dan #ab (f (x) -L)> = epsilon #

Diberi nomor # L #, Aku akan membiarkan #epsilon = 1/2 # (lebih kecil lagi # epsilon # akan bekerja dengan baik)

Sekarang diberi positif #delta#, Saya harus menunjukkan bahwa ada # x # dengan # 0 <absx <delta # dan #ab (f (x) -L)> = 1/2 # (ingat itu #epsilon = 1/2 #)

Diberikan positif #delta# akhirnya # 1/2 ^ n <delta # jadi ada # x_1 # dengan #f (x_1) = 2 #.

Ada juga elemen # x_2 dalam RR- {1, 1/2, 1/4,… } # dengan # 0 <x_2 <delta # dan #f (x_2) = 1 #

Jika #L <= (1/2) #, kemudian #ab (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Jika #L> = (1/2) #, kemudian #ab (f (x_2) -L)> = 1/2 #