Bagaimana Anda menemukan simpul dari persamaan kuadrat?

Menjawab:

Gunakan formula # -b / (2a) # untuk koordinat x dan kemudian tancapkan untuk menemukan y.

Penjelasan:

Persamaan kuadrat ditulis sebagai # ax ^ 2 + bx + c # dalam bentuk standarnya. Dan titik dapat ditemukan dengan menggunakan rumus # -b / (2a) #.

Sebagai contoh, anggaplah masalah kita adalah mencari titik (x, y) dari persamaan kuadrat # x ^ 2 + 2x-3 #.

1) Nilai nilai a, b, dan c Anda. Dalam contoh ini, a = 1, b = 2 dan c = -3

2) Masukkan nilai Anda ke dalam rumus # -b / (2a) #. Untuk contoh ini, Anda akan mendapatkannya #-2/(2*1)# yang dapat disederhanakan menjadi -1.

3) Anda baru saja menemukan koordinat x dari simpul Anda! Sekarang colokkan -1 untuk x dalam persamaan untuk mengetahui koordinat y.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) Setelah menyederhanakan persamaan di atas Anda mendapatkan: 1-2-3 yang sama dengan -4.

6) Jawaban akhir Anda adalah (-1, -4)!

Harapan itu membantu.

Menjawab:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # memiliki simpul di # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Penjelasan:

Pertimbangkan ungkapan kuadratik umum:

# f (x) = kapak ^ 2 + bx + c = 0 #

dan persamaan yang terkait #f (x) = 0 #:

# => kapak ^ 2 + bx + c = 0 #

Dengan akar, #alfa# dan # beta #.

Kita tahu (Secara simetri - Lihat di bawah untuk bukti) bahwa titik (baik maksimum atau minimum) adalah titik tengah dari dua akar, # x #-Koordinasi vertex adalah:

# x_1 = (alpha + beta) / 2 #

Namun, ingat properti yang dipelajari dengan baik:

# {: ("jumlah akar", = alpha + beta, = -b / a), ("produk akar", = alpha beta, = c / a):} #

Demikian:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Memberi kami:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# = (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# = (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# = - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

Demikian:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # memiliki simpul di # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Bukti titik tengah:

Jika sudah

# f (x) = kapak ^ 2 + bx + c = 0 #

Kemudian, membedakan wrt # x #:

# f '(x) = 2ax + b #

Pada titik kritis, turunan pertama, #f '(x) # lenyap, yang mengharuskan:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) # QED