Bedakan dengan prinsip pertama x ^ 2sin (x)?

Menjawab:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # dari definisi turunan dan mengambil beberapa batasan.

Penjelasan:

Membiarkan #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Kemudian

# (df) / dx = lim_ {h hingga 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h hingga 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h hingga 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h hingga 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h hingga 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h hingga 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h hingga 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

oleh identitas trigonometri dan beberapa penyederhanaan. Pada empat baris terakhir yang kami miliki empat istilah.

Istilah pertama sama dengan 0, sejak

#lim_ {h hingga 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, yang bisa dilihat mis. dari ekspansi Taylor atau aturan L'Hospital.

Itu Istilah keempat juga lenyap karena

#lim_ {h hingga 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h hingga 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Sekarang masa jabatan kedua disederhanakan menjadi

# lim_ {h hingga 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h to 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, sejak

#lim_ {h hingga 0} (sin (h)) / h = 1 #, seperti yang ditunjukkan di sini, atau mis. Aturan L'Hospital (lihat di bawah).

Itu masa jabatan ketiga disederhanakan menjadi

# lim_ {h hingga 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h hingga 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

setelah itu menambah istilah kedua memberikan itu

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Catatan: Menurut aturan L'Hospital, sejak # lim_ {h to 0} sin (h) = 0 # dan # lim_ {h hingga 0} h = 0 # dan kedua fungsi tersebut dapat dibedakan # h = 0 #, kita memilikinya

# lim_ {h to 0} sin (h) / h = lim_ {h to 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h ke 0} cos (h) = 1 #.

Batasnya # lim_ {h hingga 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # dapat ditampilkan dengan cara yang sama.