Berapakah turunan dari (x ^ 2 + x) ^ 2?

Menjawab:

# y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x #

Penjelasan:

Anda dapat membedakan fungsi ini dengan menggunakan jumlah dan aturan kekuasaan. Perhatikan bahwa Anda dapat menulis ulang fungsi ini sebagai

#y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = x (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 #

#y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 #

Sekarang, aturan penjumlahan memberi tahu Anda bahwa untuk fungsi yang mengambil formulir

#y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) #

Anda dapat menemukan turunan dari # y # dengan menambahkan turunan dari masing-masing fungsi tersebut.

#color (biru) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + … #

Dalam kasus Anda, Anda punya

# y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) * 2d / dx (x ^ 3) * d / dx (x ^ 2) #

Untuk membedakan fraksi ini, gunakan aturan daya

#warna (biru) (d / dx (x ^ a) = kapak ^ (a-1)) #

Jadi, turunan Anda akan muncul

# y ^ '= 4x ^ (4-1) + 2 * 3x ^ (3-1) + 2x ^ (2-1) #

# y ^ '= warna (hijau) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #

kalau tidak, Anda dapat menggunakan aturan rantai untuk membedakan # y #.

#warna (biru) (d / dx (y) = d / (du) (y) * d / dx (u)) #

Dalam kasus Anda, Anda punya #y = u ^ 2 # dan # u = x ^ 2 + x #, sehingga Anda dapatkan

# dy / (dx) = d / (du) u ^ 2 * d / dx (x ^ 2 + x) #

# dy / dx = 2u * (2x + 1) #

# dy / dx = 2 (x ^ 2 + x) * (2x + 1) #

# dy / dx = (2x ^ 2 + 2x) * (2x + 1) #

# dy / dx = 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 2 + 2x = warna (hijau) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #