Apa itu fungsi gelombang dan apa saja persyaratan agar berperilaku baik, mis. Agar dapat mewakili realitas fisik dengan benar?

Menjawab:

Fungsi gelombang adalah fungsi bernilai kompleks di mana amplitudo (nilai absolut) memberikan distribusi probabilitas. Namun itu tidak berperilaku seperti gelombang biasa.

Penjelasan:

Dalam mekanika kuantum, kita berbicara tentang keadaan suatu sistem. Salah satu contoh paling sederhana adalah partikel yang dapat berputar atau naik turun, misalnya elektron. Ketika kita mengukur putaran sistem, kita mengukurnya untuk naik atau turun. Keadaan dimana kita yakin akan hasil pengukuran, kita sebut status eigen (status satu tingkat) # uarr # dan satu negara bagian # darr #).

Ada juga keadaan di mana kita tidak yakin dengan hasil pengukuran sebelum kita mengukurnya. Negara-negara ini kita sebut superposisi dan kita dapat menuliskannya sebagai # a * uarr + b * darr #. Di sini kita miliki # | a | ^ 2 # probabilitas pengukuran # uarr #, dan # | b | ^ 2 # probabilitas pengukuran # darr #. Ini tentu saja berarti # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Kami mengizinkan # a, b # untuk menjadi bilangan kompleks, alasan untuk ini tidak segera jelas dari contoh ini, tetapi dalam konteks fungsi gelombang akan lebih jelas. Intinya adalah bahwa ada lebih dari satu negara memberikan probabilitas yang sama untuk mengukur putaran.

Sekarang kita bisa mencoba untuk menetapkan fungsi ke keadaan spin ini. Karena hanya ada dua hasil pengukuran putaran, kami memiliki fungsi yang hanya memiliki dua input yang mungkin. Jika kita memanggil fungsinya # psi # (Ini adalah simbol yang sangat konvensional digunakan untuk gelombang), kami atur #psi (uarr) = a # dan #psi (darr) = b #.

Sekarang kita beralih ke fungsi gelombang. Salah satu aspek dari sebuah partikel tentu saja adalah lokasinya. Sama seperti dalam kasus putaran, kita dapat mengukur nilai yang berbeda untuk lokasi, dan kita dapat memiliki status di mana hasil pengukuran tidak diperbaiki sebelumnya. Karena kita memiliki jumlah tak terhingga lokasi di mana sebuah partikel dapat berada, tuliskan keadaan ini sebagai # a * "di sini" + b * "di sana" # tidak akan melakukannya. Namun, gagasan fungsi yang kami gunakan di atas tidak. Jadi untuk lokasi mana pun # x #, kami memiliki nilai yang kompleks #psi (x) #. Fungsi kepadatan probabilitas dari partikel sekarang diberikan oleh # | psi (x) | ^ 2 #.

Dalam semua keadilan, secara historis ide fungsi gelombang lebih tua dari spin, tapi saya pikir memahami gagasan spin pada tingkat tertentu membantu dalam memahami fungsi gelombang.

Sekarang pertama-tama, mengapa kompleks fungsi gelombang dihargai? Alasan pertama dapat ditemukan dalam ide gangguan. Fungsi gelombang suatu partikel dapat mengganggu dirinya sendiri. Gangguan ini berkaitan dengan menjumlahkan fungsi gelombang, jika fungsi gelombang memberikan nilai absolut yang sama pada titik tertentu, maka kemungkinan mengukur partikel di sekitar titik itu sama. Namun nilai fungsi dapat berbeda, jika mereka sama, menambahkannya akan membuat amplitudo, atau probabilitas kepadatan 4 (#|2|^2#) kali lebih besar (gangguan konstruktif), dan jika mereka berbeda oleh suatu tanda mereka meniadakan satu sama lain (gangguan destruktif). Namun dapat juga berbeda misalnya dengan faktor #saya#, artinya kerapatan probabilitas menjadi #2# kali lebih besar pada saat itu. Kita tahu bahwa semua gangguan ini dapat terjadi. Jadi ini menunjuk ke arah fungsi gelombang yang kompleks seperti yang dijelaskan sebelumnya.

Alasan kedua dapat ditemukan dalam persamaan Schrödinger. Awalnya dianggap bahwa fungsi gelombang ini berperilaku seperti gelombang klasik. Namun, ketika Schrödinger mencoba menggambarkan perilaku gelombang-gelombang ini, atau paling tidak evolusinya melalui waktu, ia menemukan bahwa persamaan yang mengatur gelombang klasik tidak memadai. Agar dapat berfungsi, ia harus memasukkan bilangan kompleks ke dalam persamaan, yang mengarah pada kesimpulan bahwa fungsi itu sendiri harus kompleks juga, dan urutan turunan yang muncul dalam persamaan berbeda dari persamaan gelombang klasik.

Perbedaan dalam persamaan ini juga menjawab pertanyaan kedua Anda. Karena evolusi fungsi gelombang sangat berbeda dari gelombang klasik, kita tidak dapat menggunakan metode yang sama yang kita gunakan dalam fisika gelombang klasik. Tentu saja ada argumen geometris yang dapat Anda gunakan, tetapi itu tidak akan cukup untuk menggambarkan semua fenomena dalam fisika kuantum. Selain itu, meskipun fungsi gelombang memberikan banyak informasi tentang keadaan partikel, ia tidak memberi tahu Anda tentang putarannya, karena spin yang dapat diamati dan lokasi tidak ada hubungannya dengan satu sama lain.

Mungkin saya salah menafsirkan apa yang Anda maksud dengan sifat geometris. Bisakah Anda memberi contoh tentang apa yang Anda maksudkan. Mungkin aku bisa membantumu lebih jauh.

Itu fungsi gelombang mewakili keadaan sistem mekanika kuantum seperti atom atau molekul.

Itu bisa direpresentasikan sebagai salah satu # psi #, itu tidak tergantung waktu fungsi gelombang, atau # Psi #, itu tergantung waktu fungsi gelombang.

Karena gelombang fungsi jelas mewakili suatu sistem yang berperilaku seperti a gelombang (Bukan kebetulan bahwa itu disebut gelombang berfungsi!), kita biasanya mengharapkan sebuah tidak dibatasi fungsi gelombang tidak memiliki batas. Pertimbangkan fakta itu # sinx # dan # cosx #, dua fungsi yang jelas gelombang, memiliki domain # (- oo, oo) #.

CONTOH: FUNGSI GELOMBANG UNTUK ORBITAL

Namun, mari kita ambil orbital misalnya. Harus ada satu set kondisi batas untuk orbital, karena jelas orbital tidak terlalu besar.

Fungsi gelombang dapat menggambarkan kombinasi linear orbital atom untuk membentuk orbital molekul:

#color (blue) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = warna (biru) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +..)) #

dimana # c_i # adalah koefisien ekspansi menunjukkan kontribusi setiap orbital atom terhadap orbital molekul tertentu yang dipermasalahkan, dan # phi_i ^ "AO" # adalah fungsi gelombang percobaan / percobaan untuk setiap orbital atom.

Karena fungsi gelombang harus dapat mewakili orbital, ia harus memiliki jari-jari positif (#r> 0 #) dan fungsi gelombang harus tunggal -bernilai, Tutup , kontinu , ortogonal ke semua fungsi gelombang terkait, dan dinormalisasi .

Dengan kata lain, itu harus lulus tes garis vertikal, memiliki area terbatas di bawah kurva, tidak memiliki lompatan / diskontinuitas / asimptot / istirahat, dan memenuhi dua persamaan berikut:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(integral dari fungsi gelombang dan konjugat kompleksnya adalah #0# jika fungsi gelombang berbeda)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(integral dari fungsi gelombang dan konjugat kompleksnya dinormalisasi sedemikian rupa sehingga sama #1# jika fungsi gelombang sama selain tanda # pmi #)

Salah satu contoh persamaan untuk fungsi gelombang dalam koordinat bola untuk atom hidrogen adalah:

#color (biru) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = warna (biru) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Untuk berpikir, saya benar-benar menghabiskan waktu untuk menormalkan ini. Saya bahkan meluangkan waktu untuk memeriksa ortogonalitas dengan dua lainnya # 2p # fungsi gelombang.: P

Untuk jaga-jaga, berikut adalah lampiran dari apa yang saya tautkan di atas dalam Scratchpads.

#' '#

Normalisasi

Itu # 2p_z # Fungsi gelombang orbital atom adalah:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Adalah # 2p_z # fungsi gelombang sangat dinormalisasi? LET'S FIND OUT!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2tet theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (hijau) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2 thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Sekarang, hanya memeriksa bagian radial, yang merupakan bagian gila … biarkan Integrasi quadruple oleh Bagian dimulai!

EVALUASI KOMPONEN RADIAL DARI FUNGSI GELOMBANG

Bagian 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Membiarkan:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Bagian 2

Membiarkan:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Bagian 3

Membiarkan:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Bagian 4

Membiarkan:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

EKSPANSI / SIMPLIFIKASI

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

FORMULIR EVALUASI-SIAP

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Paruh pertama dibatalkan menjadi #0#:

# = batal ({- e ^ (- (Kebun Binatang) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Babak kedua menyederhanakan menjadi # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = batalkan (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) batalkan ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + batalkan (4 ((a_0)) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + batal (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + batal (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Sekarang, mari kita periksa kembali fungsi gelombang secara keseluruhan …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (batal (32) batalkan (pi)) batalkan ((Z / a_0) ^ 5) (batalkan (16) batalkan ((a_0 / Z) ^ 5)) (batalkan (2) batalkan (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#warna (biru) (1 = 1) #

IYA NIH! ONE DOE EQUAL ONE! Maksudku…

Fungsi gelombang memang dinormalisasi!: D

Membuktikan ortogonalitas timbal balik untuk fungsi gelombang 2p

Mari kita pilih fungsi gelombang berikut:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Untuk menunjukkan bahwa mereka ortogonal, kita perlu menunjukkan setidaknya satu di antaranya:

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Dan dari induksi kita dapat menyiratkan sisanya karena komponen radial identik. Dengan kata lain:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (hijau) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thacacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Bagian radial ternyata # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Jadi, mari kita evaluasi porsi sudut.

Itu # theta # bagian:

#color (hijau) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2 thetacosthetad theta) #

Membiarkan:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = warna (hijau) (0) #

Dan sekarang # phi # bagian:

#color (hijau) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

Membiarkan:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = warna (hijau) (0) #

Oleh karena itu, kami memiliki keseluruhan:

#color (blue) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thacacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = batal (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = warna (biru) (0) #

Sejak

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

itu # 2p_z # dan # 2p_x # orbital atom adalah ortogonal.

Sungguh, perbedaan utama dengan menggunakan # 2p_y # persamaannya adalah yang Anda dapatkan:

#color (hijau) ("Konstanta" int_ (0) ^ (oo) "Hal yang sama" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3tet theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Dan sebagainya:

#warna (biru) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = warna (biru) (0) #

Dari mengalikan #0# oleh integral lainnya, sehingga keseluruhan integral menghilang dan:

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

demikian, # 2p_x # dan # 2p_y # orbital atom adalah ortogonal.

Akhirnya, untuk # 2p_y # vs. # 2p_z #:

#color (hijau) ("Konstanta" int_ (0) ^ (oo) "Hal yang sama" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thacacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Kami tahu # theta # integral dari sebelumnya:

#color (blue) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2 thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = warna (biru) (0) #

Dan seluruh integral menghilang lagi, dan memang # 2p_y # dan # 2p_z # orbital juga ortogonal!