Apakah ada titik (x, y) pada kurva y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, di mana garis singgung sejajar dengan sumbu x?

Menjawab:

Tidak ada poin seperti itu, sejauh matematika saya berjalan.

Penjelasan:

Pertama, mari kita perhatikan kondisi garis singgung jika sejajar dengan # x #-sumbu. Sejak # x #-aksis horizontal, garis apa pun yang paralel dengannya juga harus horisontal; jadi itu berarti garis singgung adalah horisontal. Dan, tentu saja, garis singgung horizontal terjadi ketika turunannya sama #0#.

Oleh karena itu, pertama-tama kita harus mulai dengan menemukan turunan dari persamaan mengerikan ini, yang dapat dicapai melalui diferensiasi implisit:

# y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

Dengan menggunakan aturan penjumlahan, aturan rantai, aturan produk, aturan hasil bagi, dan aljabar, kami memiliki:

# d / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … itu intens. Sekarang kita menetapkan turunan sama dengan #0# dan lihat apa yang terjadi.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -ylnx-y = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# y = -1 #

Menarik. Sekarang mari kita pasang # y = -1 # dan lihat apa yang kita dapatkan # x #:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Karena ini adalah kontradiksi, kami menyimpulkan bahwa tidak ada poin yang memenuhi kondisi ini.

Menjawab:

Tidak ada garis singgung seperti itu.

Penjelasan:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) sama dengan y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Sekarang menelepon #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # kita punya

#df = f_x dx + f_y dy = (sebagian u) / (sebagian x) dx + (sebagian v) / (sebagian y) dy = 0 # kemudian

# dy / dx = - ((sebagian u) / (sebagian x)) / ((sebagian v) / (sebagian y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Kami melihat itu # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # tetapi nilai-nilai itu harus memverifikasi:

#f (x, y_0) = 0 # dan

#f (x_0, y) = 0 #

Dalam kasus pertama, # y_0 = 1 # kita punya

# x ^ x = -1 # yang tidak dapat dicapai dalam domain nyata.

Dalam kasus kedua, # x_0 = e ^ {- 1} # kita punya

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # atau

# y / (y +1) log_e y = -1 #

tapi

# y / (y +1) log_e y> -1 # jadi tidak ada solusi nyata juga.

Kesimpulannya, tidak ada garis singgung seperti itu.

Menjawab:

Jawaban dari Dr, Cawa K, x = 1 / e, tepat.

Penjelasan:

Saya telah mengajukan pertanyaan ini untuk mendapatkan nilai ini dengan tepat. Terimakasih untuk

Dr, Cawas untuk jawaban tegas yang menyetujui wahyu itu

presisi ganda y 'tetap 0 di sekitar interval ini. ya

kontinu dan dapat dibedakan pada x = 1 / e. Karena keduanya 17-sd ganda

presisi y dan y 'adalah 0, dalam interval ini sekitar x = 1 / e, itu adalah a

menduga bahwa sumbu x menyentuh grafik di antaranya. Dan sekarang, benar

terbukti. Saya pikir sentuhannya bersifat transendental..