Menjawab:
Garis singgung sejajar dengan # x # sumbu ketika kemiringan (karenanya # dy / dx #) adalah nol dan sejajar dengan # y # sumbu ketika kemiringan (lagi, # dy / dx #) pergi ke # oo # atau # -oo #
Penjelasan:
Kami akan mulai dengan menemukan # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1thn + xdy / dx + 2thn dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Sekarang, # dy / dx = 0 # ketika nuimerator itu #0#, asalkan ini tidak juga membuat penyebut #0#.
# 2x + y = 0 # kapan #y = -2x #
Kami sekarang, dua persamaan:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Memecahkan (dengan substitusi)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Menggunakan #y = -2x #, kita mendapatkan
Garis singgung kurva adalah horisontal pada dua titik:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # dan # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Perhatikan bahwa pasangan ini tidak juga membuat penyebut # dy / dx # sama dengan #0#)
Untuk menemukan titik di mana garis singgung vertikal, buat penyebut # dy / dx # sama dengan tpo #0# (tanpa juga membuat pembilang #0#).
Kita bisa melalui solusi, tetapi simetri persamaan yang akan kita dapatkan:
# x = -2y #jadi
#y = + - sqrt21 / 3 #
dan titik pada kurva di mana garis singgung vertikal adalah:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # dan # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Ngomong-ngomong. Karena kami memiliki teknologinya, inilah grafik elips yang diputar ini: (Perhatikan itu # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # yang dapat Anda lihat pada grafik.)
grafik {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Menjawab:
Hanya menggunakan matematika sekolah menengah saya dapatkan
Garis singgung sejajar dengan sumbu x di:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) dan (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Garis singgung sejajar dengan sumbu y di:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) dan (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Penjelasan:
Saya melirik jawaban Jim, yang terlihat seperti perawatan kalkulus standar yang bagus. Tetapi saya tidak bisa menahan perasaan sedih untuk semua siswa sekolah menengah di luar sana di negeri Sokrates yang ingin menemukan garis singgung kurva aljabar tetapi masih bertahun-tahun lagi dari kalkulus.
Untungnya mereka dapat melakukan masalah ini hanya menggunakan Aljabar I.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Ini mungkin agak rumit untuk contoh pertama, tetapi mari kita lanjutkan. Kami menulis kurva kami sebagai #f (x, y) = 0 # dimana
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Mari kita ambil # (r, s) # sebagai titik pada # f #. Kami ingin menyelidiki # f # dekat # (r, s) # jadi kami menulis
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Kami memperluas, tetapi kami tidak memperluas ketentuan perbedaan # x-r # dan # y-s #. Kami ingin mempertahankannya agar kami dapat mencoba menghilangkannya nanti.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Kami berkata # (r, s) # aktif # f # begitu #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Kami mengurutkan istilah berdasarkan derajat, dan kami dapat bereksperimen dengan perkiraan # f # dekat # (r, s) # dengan menjatuhkan derajat yang lebih tinggi. Idenya adalah kapan # (x, y) # dekat # (r, s) # kemudian # x-r # dan # y-s # kecil, dan kotak dan produk mereka masih lebih kecil.
Mari kita buat beberapa perkiraan saja # f #. Sejak # (r, s) # ada pada kurva, perkiraan konstan, menjatuhkan semua istilah perbedaan, adalah
# f_0 (x, y) = 0 #
Itu tidak terlalu menggairahkan, tetapi itu dengan benar memberitahu kita poin yang dekat # (r, s) # akan memberikan nilai mendekati nol untuk # f #.
Mari menjadi lebih menarik dan tetap menggunakan istilah linear.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Ketika kita mengatur ini ke nol, kita mendapatkan perkiraan linear terbaik # f # dekat # (r, s), # yang merupakan garis singgung untuk # f # di # (r, s). # Sekarang kita pergi ke suatu tempat.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Kami dapat mempertimbangkan perkiraan lain juga:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Ini adalah garis singgung tingkat tinggi, yang hampir tidak pernah bisa dicapai oleh siswa matematika perguruan tinggi. Kami sudah melampaui kalkulus perguruan tinggi.
Ada lebih banyak perkiraan, tetapi saya diperingatkan bahwa ini semakin lama. Sekarang kita telah belajar bagaimana melakukan kalkulus hanya menggunakan Aljabar I, mari kita lakukan masalahnya.
Kami ingin menemukan titik di mana garis singgung sejajar dengan # x # sumbu dan # y # sumbu.
Kami menemukan garis singgung kami di # (r, s) # aku s
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Paralel dengan # x # sumbu berarti persamaan #y = text {constant} #. Jadi koefisien pada # x # harus nol:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # ada di kurva begitu #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Sejak # s = -2r # poinnya adalah
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) dan (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Demikian pula sejajar dengan sumbu y artinya # 2s + r = 0 # yang seharusnya hanya menukar x dan y karena simetri masalah. Jadi poin lainnya adalah
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) dan (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Memeriksa.
Bagaimana cara mengeceknya? Mari kita lakukan plot Alpha.
plot x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Kelihatan bagus. Kalkulus pada kurva aljabar. Cukup bagus untuk sekolah menengah.
