Fakta menyenangkan, berguna, dan matematis apa yang Anda ketahui yang biasanya tidak diajarkan di sekolah?

Menjawab:

Cara mengevaluasi "menara eksponen", seperti #2^(2^(2^2))#, dan cara menghitung digit terakhir dari # 2 ^ n, # # ninNN #.

Penjelasan:

Untuk mengevaluasi "menara" ini, kita mulai dari atas dan turun ke bawah.

Begitu:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Pada catatan yang serupa, tetapi sedikit tidak berhubungan, saya juga tahu bagaimana menghitung digit terakhir #2# dinaikkan ke eksponen alami. Digit terakhir dari #2# dinaikkan ke sesuatu yang selalu berputar di antara empat nilai: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Jadi jika Anda ingin menemukan digit terakhir # 2 ^ n #, cari tempat yang berada dalam siklus, dan Anda akan tahu digit terakhirnya.

Menjawab:

Jika #n> 0 # dan #Sebuah# adalah perkiraan untuk #sqrt (n) #, kemudian:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))) #

dimana #b = n-a ^ 2 #

Penjelasan:

Misalkan kita ingin mencari akar kuadrat dari sejumlah angka #n> 0 #.

Lebih lanjut kami ingin hasilnya menjadi semacam fraksi lanjutan yang berulang pada setiap langkah.

Mencoba:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))) #

#color (white) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))) #

#color (white) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Mengurangi #Sebuah# dari kedua ujungnya untuk mendapatkan:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Kalikan kedua sisi dengan #sqrt (n) + a # mendapatkan:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Jadi jika # a ^ 2 # sedikit kurang dari # n #, kemudian # b # akan menjadi kecil dan fraksi lanjutan akan menyatu lebih cepat.

Misalnya, kalau sudah # n = 28 # dan pilih # a = 5 #, lalu kita dapatkan:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Begitu:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …)))))) #

yang memberi kita perkiraan:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

Sebuah kalkulator memberitahuku #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Jadi ini tidak konvergen dengan cepat.

Atau, kita mungkin menempatkan # n = 28 # dan # a = 127/24 # mencari:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Begitu:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

memberi kami perkiraan:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Konvergensi jauh lebih cepat.

Menjawab:

Anda dapat menemukan perkiraan untuk akar kuadrat menggunakan urutan yang didefinisikan secara rekursif.

Penjelasan:

#warna putih)()#

Metode

Diberikan bilangan bulat positif # n # yang bukan kuadrat sempurna:

• Membiarkan #p = lantai (sqrt (n)) # menjadi bilangan bulat positif terbesar yang kuadratnya tidak melebihi # n #.

• Membiarkan #q = n-p ^ 2 #

• Tetapkan urutan bilangan bulat dengan:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "untuk" i> = 1):} #

Maka rasio antara urutan urutan akan cenderung menuju # p + sqrt (n) #

#warna putih)()#

Contoh

Membiarkan # n = 7 #.

Kemudian #p = lantai (sqrt (7)) = 2 #, sejak #2^2=4 < 7# tapi #3^2 = 9 > 7#.

Kemudian # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Jadi urutan kami mulai:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

Secara teori rasio antara suku kata berurutan harus cenderung ke arah # 2 + sqrt (7) #

Ayo lihat:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Catat itu # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#warna putih)()#

Bagaimana itu bekerja

Misalkan kita memiliki urutan yang ditentukan oleh nilai yang diberikan dari # a_1, a_2 # dan aturan:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

untuk beberapa konstanta # p # dan # q #.

Pertimbangkan persamaannya:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Akar dari persamaan ini adalah:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Kemudian urutan apa pun dengan istilah umum # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # akan memenuhi aturan perulangan yang kami tentukan.

Pecahkan berikutnya:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

untuk #SEBUAH# dan # B #.

Kami menemukan:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

dan karenanya:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Jadi dengan nilai-nilai ini # x_1, x_2, A, B # kita punya:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Jika #q <3p ^ 2 # kemudian #ab (x_2) <1 # dan rasio antara istilah-istilah yang berurutan akan cenderung ke arah # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Menjawab:

Divisi modular

Penjelasan:

Pembagian modular sama dengan pembagian kecuali jawabannya adalah sisanya bukan nilai sebenarnya. Daripada #-:# simbol, Anda menggunakan #%# simbol.

Misalnya, biasanya, jika Anda ingin menyelesaikannya #16-:5# kamu akan mendapatkan #3# sisa #1# atau #3.2#. Namun, menggunakan divisi modular, #16%5=1#.

Menjawab:

Mengevaluasi kotak dengan penjumlahan

Penjelasan:

Biasanya, Anda harus tahu kotak seperti #5^2=25#. Namun, ketika angkanya semakin besar seperti #25^2#, semakin sulit untuk mengetahui dari atas kepala Anda.

Saya menyadari bahwa setelah beberapa saat, kotak hanya jumlah angka ganjil.

Maksud saya adalah ini:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # dimana # k # adalah nilai dasar minus #1#

Begitu #5^2# dapat ditulis sebagai:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Itu akan memberi Anda:

#1+3+5+7+9#

Ini, sebenarnya, adalah #25#.

Karena angka selalu bertambah oleh #2#, Saya kemudian dapat menambahkan angka pertama dan terakhir dan kemudian kalikan dengan # k / 2 #.

Maka untuk #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Jadi saya bisa melakukannya #(49+1)(25/2)# dan dapatkan #25^2# yang mana #625#.

Ini tidak terlalu praktis tetapi menarik untuk diketahui.

#warna putih)()#

Bonus

Mengetahui bahwa:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n istilah" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

memungkinkan kita untuk memecahkan beberapa masalah tentang perbedaan kuadrat.

Misalnya, apa saja solusi dalam bilangan bulat positif #M N# dari # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Ini mengurangi untuk menemukan berapa jumlah bilangan bulat ganjil berturut-turut ditambahkan #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "rata-rata 20" #

#color (white) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (white) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (white) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "rata-rata 10" #

#color (white) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (white) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (white) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #