Apa arti -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3))?

Menjawab:

Masalah tidak terpecahkan

Penjelasan:

Tidak ada busur yang kosinusnya sama dengan 2 dan 3.

Dari sudut pandang analitik, # arccos # fungsi hanya ditentukan pada #-1,1# begitu #arccos (2) # & #arccos (3) # tidak ada

Menjawab:

Nyata # cos # dan #dosa# ini tidak memiliki solusi, tetapi sebagai fungsi bilangan Kompleks kami temukan:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Penjelasan:

Sebagai nilai nyata fungsi nilai nyata # x #, fungsinya #cos (x) # dan #sin (x) # hanya mengambil nilai dalam rentang #-1, 1#jadi #arccos (2) # dan #arccos (3) # tidak terdefinisi.

Namun, dimungkinkan untuk memperluas definisi fungsi-fungsi ini ke fungsi-fungsi yang kompleks #cos (z) # dan #sin (z) # sebagai berikut:

Dimulai dengan:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

kita dapat menyimpulkan:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Maka kita dapat mendefinisikan:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

untuk setiap nomor Kompleks # z #.

Dimungkinkan untuk menemukan beberapa nilai # z # memuaskan itu #cos (z) = 2 # atau #cos (z) = 3 #, jadi mungkin ada beberapa pilihan yang harus dibuat untuk menentukan nilai pokok #arccos (2) # atau #arccos (3) #.

Untuk menemukan kandidat yang cocok, selesaikan # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, dll.

Namun, perhatikan identitas itu # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # berlaku untuk semua nomor Kompleks # z #, jadi kami dapat menyimpulkan:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Saya berharap bahwa mungkin untuk mendefinisikan nilai pokok sedemikian rupa #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # daripada # -sqrt (3) i #.

Bagaimanapun, #cos (arccos (3)) = 3 # Menurut definisi.

Menyatukan semua ini, kami menemukan:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #