Apa bentuk standar dari persamaan parabola dengan fokus pada (2, -5) dan directrix dari y = 6?

Menjawab:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x-5/18 larr # ini adalah bentuk standar.

Penjelasan:

Karena directrix adalah horizontal, kita tahu bahwa parabola terbuka ke atas atau ke bawah dan bentuk verteks dari persamaannya adalah:

#y = a (x-h) ^ 2 + k "1" #

Kita tahu bahwa koordinat x dari vertex, h, sama dengan koordinat x fokus:

#h = 2 #

Ganti ini menjadi persamaan 1:

#y = a (x-2) ^ 2 + k "2" #

Kita tahu bahwa koordinat titik, k, adalah titik tengah antara fokus dan directrix:

#k = (y_ "focus" + y_ "directrix") / 2 #

#k = (-5 + 6) / 2 #

#k = -1 / 2 #

Ganti ini menjadi persamaan 2:

#y = a (x-2) ^ 2-1 / 2 "3" #

Biarkan f = jarak vertikal dari titik ke fokus.

#f = -5 - (- 1/2) #

#f = -9 / 2 #

Kita dapat menggunakan ini untuk menemukan nilai "a":

#a = 1 / (4 (f)) #

#a = 1 / (4 (-9/2) #

#a = -1 / 18 #

Ganti ini menjadi persamaan 3:

#y = -1/18 (x-2) ^ 2-1 / 2 #

Perluas kotak:

#y = -1/18 (x ^ 2-4x + 4) -1 / 2 #

Gunakan properti distributif:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x + 2 / 9-1 / 2 #

Gabungkan istilah konstan:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x-5/18 larr # ini adalah bentuk standar.