Bagaimana cara menemukan integral int (x * cos (5x)) dx?

Kami akan mengingat formula untuk integrasi dengan bagian-bagian, yaitu:

#int u dv = uv - int v du #

Untuk menemukan integral ini berhasil, kami akan membiarkannya #u = x #, dan #dv = cos 5x dx #. Karena itu, #du = dx # dan #v = 1/5 sin 5x #. (# v # dapat ditemukan menggunakan quick # u #-pengganti)

Alasan saya memilih # x # untuk nilai # u # karena saya tahu bahwa nantinya saya akan berintegrasi # v # dikalikan dengan # u #turunannya. Karena turunan dari # u # hanya #1#, dan karena mengintegrasikan fungsi trig dengan sendirinya tidak membuatnya lebih kompleks, kami telah menghapus secara efektif # x # dari integrand dan hanya perlu khawatir tentang sinus sekarang.

Jadi, dengan memasukkan formula IBP, kita mendapatkan:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Menarik #1/5# out of the integrand memberi kita:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Mengintegrasikan sinus hanya akan membutuhkan # u #-pengganti. Karena kita sudah menggunakannya # u # untuk formula IBP saya akan menggunakan surat itu # q # sebagai gantinya:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Untuk mendapatkan # 5 dx # di dalam integand saya akan mengalikan integral dengan yang lain #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

Dan, mengganti semuanya dari segi # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Kita tahu bahwa integral dari #dosa# aku s # -cos #, jadi kita bisa menyelesaikan integral ini dengan mudah. Ingat konstanta integrasi:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Sekarang kita hanya akan mengganti # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

Dan ada integral kita.