Apa ekstrem dari f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 pada [-oo, oo]?

Menjawab:

#f (x) # memiliki minimum pada # x = 2 #

Penjelasan:

Sebelum melanjutkan, perhatikan bahwa ini adalah parabola yang menghadap ke atas, artinya kita dapat mengetahui tanpa perhitungan lebih lanjut bahwa itu tidak akan memiliki maksimum, dan minimum tunggal pada verteksnya. Melengkapi kotak akan menunjukkan kepada kita itu #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, memberikan titik, dan dengan demikian satu-satunya minimum, di #x = 2 #. Mari kita lihat bagaimana ini akan dilakukan dengan kalkulus.

Ekstrem apa pun akan terjadi baik pada titik kritis atau pada titik akhir dari interval yang diberikan. Sebagai interval yang diberikan kami # (- oo, oo) # terbuka, kita dapat mengabaikan kemungkinan titik akhir, dan oleh karena itu pertama-tama kita akan mengidentifikasi titik-titik kritis suatu fungsi, yaitu titik di mana turunan dari fungsi tersebut adalah #0# atau tidak ada.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Pengaturan ini sama dengan #0#, kami menemukan titik kritis di # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Sekarang, kita dapat menguji untuk melihat apakah itu adalah suatu ekstrim (dan jenis apa) dengan memeriksa beberapa nilai # f # sekitar titik itu, atau dengan menggunakan tes turunan kedua. Mari kita gunakan yang terakhir.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Sebagai #f '' (2) = 6> 0 #, tes turunan kedua memberitahu kita itu #f (x) # memiliki minimum lokal di # x = 2 #

Jadi, menggunakan #f '(x) # dan #f '' (x) #, kami menemukan itu #f (x) # memiliki minimum pada # x = 2 #, cocok dengan hasil yang kami temukan menggunakan aljabar.