Apa itu bilangan kompleks?

Bilangan kompleks adalah bilangan formulir # a + bi # dimana #Sebuah# dan # b # adalah bilangan real dan #saya# didefinisikan sebagai # i = sqrt (-1) #.

(Di atas adalah definisi dasar bilangan kompleks. Baca terus untuk mengetahui lebih banyak tentang mereka.)

Sama seperti bagaimana kita menunjukkan himpunan bilangan real sebagai # RR #, kami menunjukkan himpunan bilangan kompleks sebagai # CC #. Perhatikan bahwa semua bilangan real juga bilangan kompleks, seperti bilangan real mana pun # x # dapat ditulis sebagai # x + 0i #.

Diberi bilangan kompleks # z = a + bi #, kami mengatakan itu #Sebuah# adalah bagian nyata dari bilangan kompleks (dilambangkan # "Re" (z) #) dan # b # adalah bagian imajiner dari bilangan kompleks (dilambangkan # "Im" (z) #).

Melakukan operasi dengan bilangan kompleks mirip dengan melakukan operasi pada binomial. Diberi dua bilangan kompleks # z_1 = a_1 + b_1i # dan # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (ingat # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((a_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Untuk pembagian, kami menggunakan fakta itu # (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Diberi bilangan kompleks # z = a + bi # Kami memanggil # a-bi # itu konjugat kompleks dari # z # dan menunjukkannya #bar (z) # Ini adalah properti yang bermanfaat (seperti yang terlihat di atas) itu #zbar (z) # selalu bilangan real.

Bilangan kompleks memiliki banyak aplikasi dan atribut yang berguna, tetapi salah satu yang sering ditemui lebih awal adalah penggunaannya dalam polinomial anjak. Jika kita membatasi diri hanya pada bilangan real, polinomial seperti # x ^ 2 + 1 # tidak dapat diperhitungkan lebih lanjut, namun jika kita mengizinkan bilangan kompleks, maka kita memilikinya # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

Bahkan, jika kita mengizinkan bilangan kompleks, maka apa saja polinomial variabel-tunggal # n # dapat ditulis sebagai produk dari # n # faktor linier (mungkin dengan beberapa yang sama). Hasil ini dikenal sebagai teorema dasar aljabar, dan, seperti namanya, sangat penting untuk aljabar dan memiliki aplikasi luas.