Bagaimana Anda menemukan jumlah deret geometri tak terhingga 10 (2/3) ^ n ketika n = 2?

Menjawab:

Jawabannya adalah baik #40/9# atau #40/3# tergantung pada apa yang dimaksud dengan pertanyaan.

Penjelasan:

Baik jika #n = 2 # maka tidak ada jumlah, jawabannya hanya:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Tapi mungkin pertanyaannya adalah untuk meminta agar jumlah tak terbatas diambil mulai dari # n = 2 # sedemikian rupa sehingga persamaannya adalah:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

Dalam hal ini, kami akan menghitungnya dengan pertama-tama mencatat bahwa deret geometrik apa pun dapat dilihat sebagai bentuk:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

Dalam hal ini, seri kami memiliki #a = 10 # dan #r = 2/3 #.

Kami juga akan mencatat bahwa:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Jadi kita bisa menghitung jumlah deret geometri # (2/3) ^ n # lalu kalikan jumlahnya dengan #10# untuk sampai pada hasil kami. Ini membuat segalanya lebih mudah.

Kami juga memiliki persamaan:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Ini memungkinkan kita untuk menghitung jumlah seri mulai dari # n = 0 #. Tapi kami ingin menghitungnya dari # n = 2 #. Untuk melakukan ini, kami hanya akan mengurangi # n = 0 # dan # n = 1 # ketentuan dari jumlah penuh. Menulis beberapa istilah pertama dari penjumlahan kita dapat melihat bahwa itu tampak seperti:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Kita dapat melihat bahwa:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 jumlah_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#