Apa yang mewakili kecepatan sesaat pada grafik?

Asalkan grafik jarak sebagai fungsi waktu, kemiringan garis singgung fungsi pada titik tertentu mewakili kecepatan sesaat pada titik itu.

Untuk mendapatkan gambaran tentang kemiringan ini, seseorang harus menggunakannya batas. Sebagai contoh, anggaplah seseorang diberi fungsi jarak #x = f (t) #, dan seseorang ingin menemukan kecepatan sesaat, atau laju perubahan jarak, pada titik tersebut # p_0 = (t_0, f (t_0)) #, ada baiknya memeriksa titik terdekat lainnya, # p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)) #dimana #Sebuah# adalah beberapa konstanta sewenang-wenang kecil. Kemiringan lereng garis potong melewati grafik pada titik-titik ini adalah:

# f (t_0 + a) -f (t_0) / a #

Sebagai # p_1 # pendekatan # p_0 # (yang akan terjadi seperti kami #Sebuah# menurun), di atas kami # hasil bagi perbedaan # akan mendekati batas, yang ditunjuk di sini # L #, yang merupakan kemiringan garis singgung pada titik yang diberikan. Pada titik itu, persamaan titik-lereng menggunakan titik-titik kami di atas dapat memberikan persamaan yang lebih tepat.

Jika bukan satu yang akrab dengan diferensiasi, dan fungsinya bersifat kontinu dan dapat dibedakan pada nilai yang diberikan # t #, maka kita cukup membedakan fungsinya. Mengingat bahwa sebagian besar fungsi jarak fungsi polinomial, dari formulir #x = f (t) = at ^ n + bt ^ (n-1) + ct ^ (n-2) + … + yt + z, # ini dapat dibedakan menggunakan aturan kekuasaan yang menyatakan bahwa untuk suatu fungsi #f (t) = at ^ n, (df) / dt # (atau #f '(t) #) = # (n) at ^ (n-1) #.

Jadi untuk fungsi polinomial umum kami di atas, #x '= f' (t) = (n) at ^ (n-1) + (n-1) bt ^ (n-2) + (n-2) ct ^ (n-3) + … + y # (Perhatikan sejak itu #t = t ^ 1 # (karena angka berapa pun yang dinaikkan ke kekuatan pertama sama dengan dirinya sendiri), mengurangi daya sebesar 1 meninggalkan kita # t ^ 0 = 1 #, maka mengapa istilah terakhirnya sederhana # y #. Perhatikan juga bahwa kami # z # Istilah, menjadi konstanta, tidak berubah sehubungan dengan # t # dan dengan demikian dibuang dalam diferensiasi).

Ini #f '(t) # adalah turunan dari fungsi jarak sehubungan dengan waktu; dengan demikian, ia mengukur laju perubahan jarak sehubungan dengan waktu, yang hanyalah kecepatan.