Berapa ekstrem dari f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 pada interval [-1,3]?

Menjawab:

Kami memiliki minimal di # x = 0 # dan titik belok di # x = 3 #

Penjelasan:

Maxima adalah titik tinggi di mana fungsi naik dan kemudian jatuh lagi. Dengan demikian kemiringan garis singgung atau nilai turunan pada titik itu akan menjadi nol.

Selanjutnya, karena garis singgung di sebelah kiri maxima akan miring ke atas, kemudian diratakan dan kemudian miring ke bawah, kemiringan garis singgung akan terus menurun, yaitu nilai turunan kedua akan negatif.

Minima di sisi lain adalah titik rendah di mana fungsi jatuh dan kemudian naik lagi. Dengan demikian tangen atau nilai derivatif pada minima juga akan menjadi nol.

Tetapi, karena garis singgung di sebelah kiri minima akan miring ke bawah, kemudian merata dan kemudian miring ke atas, kemiringan garis singgung akan terus meningkat atau nilai turunan kedua akan positif.

Jika turunan kedua adalah nol, kami memiliki poin

Namun, maksimum dan minimum ini bisa bersifat universal yaitu maksimum atau minimum untuk seluruh rentang atau dapat dilokalkan, mis. Maksimal atau minimum dalam kisaran terbatas.

Mari kita lihat ini dengan merujuk pada fungsi yang dijelaskan dalam pertanyaan dan untuk ini mari kita bedakan #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Derivatif pertamanya diberikan oleh #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Ini akan menjadi nol untuk # x ^ 2-9 = 0 # atau #x = + - 3 # atau #0#. Hanya ini #{0,3}# berada dalam jangkauan #-1,3}#.

Karenanya maxima atau minima terjadi pada titik # x = 0 # dan # x = 3 #.

Untuk menemukan apakah itu maxima atau minima, mari kita lihat diferensial kedua yang mana #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # dan karenanya sementara

di # x = 0 #, #f '' (x) = 486 # dan positif

di # x = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # dan merupakan titik belok.

Karenanya, kami memiliki minimum lokal di # x = 0 # dan titik belok di # x = 3 #

. grafik {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Menjawab:

Minimum absolut adalah #(-9)^3+10# (yang terjadi pada #0#), maksimum absolut pada intervalnya adalah #10#, (yang terjadi pada #3#)

Penjelasan:

Pertanyaannya tidak menentukan apakah kita akan menemukan ekstrema relatif atau absolut, jadi kita akan menemukan keduanya.

Ekstrem relatif dapat terjadi hanya pada bilangan kritis. Angka kritis adalah nilai # x # yang ada di domain # f # dan di mana keduanya #f '(x) = 0 # atau #f '(x) tidak ada. (Teorema Fermat)

Ekstrem absolut pada interval tertutup dapat terjadi pada bilangan kritis dalam interval atau pada titik-titik interval.

Karena fungsi yang ditanyakan di sini adalah terus menyala #-1,3#Teorema Nilai Ekstrem meyakinkan kita # f # harus memiliki minimum absolut dan maksimum absolut pada interval.

Angka kritis dan ekstrem relatif.

Untuk #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, kami menemukan #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Jelas, # f '# tidak pernah gagal ada, jadi tidak ada angka kritis semacam itu.

Memecahkan # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # menghasilkan solusi #-3#, #0#, dan #3#.

#-3# tidak ada dalam domain masalah ini, #-1,3# jadi kita hanya perlu memeriksa #f (0) # dan #f (3) #

Untuk #x <0 #, kita punya #f '(x) <0 # dan

untuk #x> 0 #, kita punya #f '(x)> 0 #.

Jadi, dengan tes turunan pertama, #f (0) # adalah minimum relatif. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Angka penting lainnya dalam interval adalah #3#. Jika kami mengabaikan batasan domain, kami menemukannya #f '(x)> 0 # untuk semua # x # dekat #3#. Jadi, fungsi meningkat pada interval terbuka kecil yang berisi #3#. Karena itu, jika kita berhenti di #3# kami telah mencapai titik tertinggi dalam domain.

Ada tidak kesepakatan universal apakah akan mengatakan itu #f (3) = 10 # adalah maksimum relatif untuk fungsi ini #-1,3#.

Beberapa membutuhkan nilai di kedua sisi menjadi kurang, yang lain membutuhkan nilai di domain di kedua sisi menjadi lebih sedikit.

Ekstrem Mutlak

Situasi untuk ekstrem absolut pada interval tertutup # a, b # jauh lebih sederhana.

Temukan angka-angka penting dalam interval tertutup. Sebut # c_1, c_2 # dan seterusnya.

Hitung nilainya #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # dan seterusnya. Nilai terbesar adalah maixmum absolut pada interval dan nilai terkecil adalah minimum absolut pada interval.

Dalam pertanyaan ini kami menghitung #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # dan #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Minimumnya adalah #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # dan

maksimum adalah #f (-3) = 10 #.