Bagaimana Anda menyelesaikan x + 2 = e ^ (x)?

Menjawab:

Gunakan Metode Newton

#x = 1.146193 # dan #x = -1.84141 #

Penjelasan:

Anda tidak bisa menyelesaikan persamaan menggunakan metode aljabar. Untuk jenis persamaan ini, saya menggunakan teknik analisis numerik yang disebut Metode Newton.

Berikut ini adalah referensi untuk metode Newton

Membiarkan #f (x) = e ^ x - x - 2 = 0 #

#f '(x) = e ^ x - 1 #

Anda mulai dengan menebak # x_0 # dan kemudian lakukan perhitungan berikut untuk bergerak lebih dekat ke solusi:

#x_ (n +1) = x_n - f (x_n) / (f '(x_n)) #

Anda melakukan perhitungan, memasukkan setiap langkah kembali ke persamaan, sampai angka yang Anda dapatkan tidak berubah dari angka sebelumnya.

Karena Metode Newton intensif secara komputasi, saya menggunakan Excel Spreadsheet.

Buka Excel Spreadsheet

Ke sel A1 masukkan tebakan Anda # x_0 #. Saya memasukkan 1 ke sel A1.

Ke dalam sel A2 masukkan ekspresi berikut:

= A1 - (EXP (A1) - A1 - 2) / (EXP (A1) - 1)

Salin konten sel A2 ke clipboard lalu tempelkan ke sel A3 hingga A10.

Anda akan melihat bahwa nomor dengan cepat menyatu #x = 1.146193 #

Sunting: Setelah membaca komentar yang sangat bagus dari Shell. Saya memutuskan untuk menemukan root kedua dengan mengubah nilai sel A1 dari 1 menjadi -1. Spreadsheet dengan cepat menyatu pada nilai #x = -1.84141 #

Menjawab:

Pertanyaan ini tidak dapat diselesaikan secara aljabar. Grafik memberi # x = -1.841 # dan # x = 1.146 #.

Penjelasan:

Sisi kiri persamaan # x + 2 # bersifat aljabar.

Sisi kanan persamaan # e ^ x # bersifat transendental (tidak dapat dinyatakan sebagai polinomial mis. eksponensial, log, fungsi trigonometri).

Persamaan ini tidak bisa diselesaikan secara aljabar tetapi bisa diselesaikan secara grafis.

Untuk menyelesaikannya, plot keduanya #warna (merah) (y = x + 2) # dan #warna (biru) (y = e ^ x) # dalam utilitas grafik atau kalkulator grafik. Solusinya adalah # x # koordinat persimpangan.