Kapan Anda menggunakan formula Bangau untuk menemukan area?

Anda bisa menggunakannya kapan pun Anda tahu panjang ketiga sisi segitiga.

Saya harap ini bermanfaat.

Menjawab:

Formula Heron hampir selalu merupakan formula yang salah untuk digunakan; coba Archimedes 'Theorem untuk segitiga dengan luas #SEBUAH# dan sisi # a, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # dimana # s = 1/2 (a + b + c) #

Yang terakhir adalah Bangau yang terselubung tipis.

Penjelasan:

Pahlawan Alexandria menulis pada abad pertama Masehi. Mengapa kami terus menyiksa siswa dengan hasilnya ketika ada banyak persamaan modern yang lebih bagus, saya tidak tahu.

Formula bangau untuk area tersebut #SEBUAH# dari segitiga dengan sisi # a, b, c # aku s

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # dimana # s = 1/2 (a + b + c) # adalah semiperimeter.

Tidak ada keraguan formula ini luar biasa. Tetapi aneh untuk menggunakan karena fraksi dan, jika kita mulai dari koordinat, empat akar kuadrat.

Mari kita lakukan perhitungannya. Kami kuadrat dan dihilangkan # s # yang sebagian besar berfungsi untuk menyembunyikan #16# dan faktorisasi penting. Anda mungkin ingin mencobanya sendiri terlebih dahulu.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Itu sudah jauh lebih baik daripada bentuk Bangau. Kami menyimpan fraksi sampai akhir dan tidak ada lagi yang bertanya-tanya tentang arti dari semiperimeter.

Kasus degenerasi mengatakan. Ketika salah satu faktor dengan tanda minus adalah nol, saat itulah kedua belah pihak menambahkan tepat ke sisi lainnya. Itu adalah jarak antara tiga titik collinear, segitiga yang merosot, dan kita mendapatkan area nol. Masuk akal.

Itu # a + b + c # faktornya menarik. Apa yang dikatakannya adalah rumus ini masih berfungsi jika kita menggunakan perpindahan, panjang bertanda, dan bukan semua positif.

Rumusnya masih canggung untuk menggunakan koordinat yang diberikan. Mari kita gandakan; Anda mungkin ingin mencobanya sendiri;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Bentuk itu hanya tergantung pada bujur sangkar. Jelas sepenuhnya simetris. Kita bisa melampaui Heron sekarang dan mengatakan jika panjang kuadrat rasional, begitu juga area kuadrat.

Tetapi kita bisa melakukan yang lebih baik jika kita perhatikan

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Mengurangi,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Itu bentuk tercantik.

Ada bentuk tampak asimetris yang biasanya paling berguna. Kami perhatikan

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Menambahkan ini ke

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Itu bentuk yang paling berguna. Sebenarnya ada tiga cara untuk menulisnya, bertukar sisi.

Secara kolektif ini disebut Teorema Archimedes, dari NJ Wildberger's Rational Trigonometry.

Ketika diberikan koordinat 2D, seringkali Shoelace Formula adalah jalur tercepat ke area tersebut, tetapi saya akan menyimpannya untuk posting lain.