Menjawab:
# "Tidak ada faktorisasi yang mudah di sini. Hanya metode umum" #
# "untuk memecahkan persamaan kubik dapat membantu kita di sini." #
Penjelasan:
# "Kita bisa menerapkan metode berdasarkan substitusi Vieta." #
# "Dibagi dengan hasil koefisien pertama:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Mengganti" x = y + p "dalam" x ^ 3 + kapak ^ 2 + bx + c "menghasilkan:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "Jika kita mengambil" 3p + a = 0 "atau" p = -a / 3 ", koefisien pertama" # # "menjadi nol, dan kita mendapatkan:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(dengan" p = -2/3 ")" #
# "Mengganti" y = qz "di" y ^ 3 + b y + c = 0 ", menghasilkan:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "Jika kita mengambil" q = sqrt (| b | / 3) ", koefisien z menjadi" #
# "3 atau -3, dan kita mendapatkan:" #
# "(di sini" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Mengganti" z = t + 1 / t ", menghasilkan:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Mengganti" u = t ^ 3 ", menghasilkan persamaan kuadrat:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "Akar persamaan kuadrat itu rumit." #
# "Ini berarti kita memiliki 3 akar nyata dalam persamaan kubik kita." #
# "Akar dari persamaan kuadratik ini adalah" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Mengganti variabel kembali, menghasilkan:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0,59750263 - 0,80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# "Akar lain dapat ditemukan dengan membagi dan memecahkan" " # "Persamaan kuadrat yang tersisa."
# "Akar lainnya adalah nyata: -3.87643981 dan 0.61210551." #
Menjawab:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
dimana:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Penjelasan:
Diberikan:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Perhatikan bahwa ini membuat faktor jauh lebih mudah jika ada kesalahan ketik dalam pertanyaan.
Sebagai contoh:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-warna (merah) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + warna (merah) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Jika kubik benar dalam bentuk yang diberikan, maka kita dapat menemukan nol dan faktor-faktornya sebagai berikut:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Transformasi Tschirnhaus
Untuk membuat tugas memecahkan cubic simpler, kami membuat cubic simpler menggunakan substitusi linier yang dikenal sebagai transformasi Tschirnhaus.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = t ^ 3-282t + 1712 #
dimana # t = (6x + 4) #
Substitusi trigonometri
Sejak #f (x) # telah #3# nol nyata, metode Cardano dan sejenisnya akan menghasilkan ekspresi yang melibatkan akar kubus tak teruraikan bilangan kompleks. Preferensi saya dalam keadaan seperti itu adalah menggunakan substitusi trigonometri.
Taruh:
#t = k cos theta #
dimana #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Kemudian:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (white) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (white) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (white) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Begitu:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Begitu:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Begitu:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Begitu:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Yang memberi #3# nol berbeda dari kubik di # t #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # untuk #n = 0, 1, 2 #
Kemudian:
#x = 1/6 (t-4) #
Jadi tiga nol dari kubik yang diberikan adalah:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
dengan nilai perkiraan:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0,61211 #
