Apa ekstrem lokal, jika ada, dari f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Menjawab:

Parabolae memiliki tepat satu ekstrema, yaitu vertex.

ini #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Sejak # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # di mana-mana fungsi cekung di mana-mana dan titik ini harus minimum.

Penjelasan:

Anda memiliki dua akar untuk menemukan simpul parabola: satu, gunakan kalkulus untuk menemukan apakah turunannya nol; dua, hindari kalkulus dengan cara apa pun dan lengkapi saja. Kami akan menggunakan kalkulus untuk latihan.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, kita perlu mengambil turunan dari ini.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Dengan linearitas turunan yang kita miliki

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Menggunakan aturan daya, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # kita punya

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Kami menetapkan ini sama dengan nol untuk menemukan titik kritis, minimum lokal dan global dan maksimum dan kadang-kadang titik infleksi memiliki turunan dari nol.

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9 / 2 #,

jadi kami memiliki satu titik kritis di # x = -9 / 2 # atau #-4 1/2#.

Untuk menemukan koordinat y titik kritis yang kami masukkan # x = -9 / 2 # kembali ke fungsi, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Titik kritis / titik adalah #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Kami tahu itu karena #a> 0 #, ini maksimal.

Untuk mengetahui secara formal apakah itu maksima atau minimum, kita perlu melakukan tes turunan kedua.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Derivatif kedua adalah 2 pada semua nilai x. Ini berarti lebih besar dari nol di mana-mana, dan fungsinya cekung di mana-mana (itu parabola dengan #a> 0 # lagipula), jadi ekstrema harus minimum, titik.