Apa perilaku akhir dari fungsi f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> infty # sebagai #x -> infty # (#ln (x) # tumbuh tanpa batas sebagai # x # tumbuh tanpa batas) dan #f (x) = ln (x) -> - infty # sebagai #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # tumbuh tanpa terikat ke arah negatif sebagai # x # mendekati nol dari kanan).

Untuk membuktikan fakta pertama, Anda pada dasarnya perlu menunjukkan bahwa fungsinya semakin meningkat #f (x) = ln (x) # tidak memiliki asimptot horizontal seperti #x -> infty #.

Membiarkan #M> 0 # ada angka positif yang diberikan (tidak peduli seberapa besar). Jika #x> e ^ {M} #, kemudian #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (sejak #f (x) = ln (x) # adalah fungsi yang meningkat). Ini membuktikan bahwa ada garis horizontal # y = M # tidak boleh berupa asimtot horizontal dari #f (x) = ln (x) # sebagai #x -> infty #. Fakta bahwa #f (x) = ln (x) # adalah fungsi yang meningkat sekarang menyiratkan bahwa #f (x) = ln (x) -> infty # sebagai # x-> infty #.

Untuk membuktikan fakta kedua, biarkan #M> 0 # ada angka positif yang diberikan sehingga # -M <0 # adalah angka negatif yang diberikan (tidak peduli seberapa jauh dari nol). Jika # 0 <x <e ^ {- M} #, kemudian #f (x) = ln (x) < ln (e ^ {- M}) = - M # (sejak #f (x) = ln (x) # meningkat). Ini membuktikan itu #f (x) = ln (x) # berada di bawah garis horizontal apa pun jika # 0 <x # cukup mendekati nol. Itu berarti #f (x) = ln (x) -> - infty # sebagai #x -> 0 ^ {+} #.