Uji f untuk cekung?

Menjawab:

# f # adalah cembung # RR #

Penjelasan:

Memecahkannya saya pikir.

# f # 2 kali dapat dibedakan dalam # RR # begitu # f # dan # f '# kontinu dalam # RR #

Kita punya # (f '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Membedakan kedua bagian yang kita dapatkan

# 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '' (x) ((f '(x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # begitu #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '' (x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Kami membutuhkan tanda pembilang sehingga kami mempertimbangkan fungsi baru

#g (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , # x ##di## RR #

#g '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Kami perhatikan itu #g '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

Untuk # x = π # #=># #g '(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Untuk # x = -π # #g '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

Kami akhirnya mendapatkan tabel ini yang menunjukkan kemonotonan # g #

Seharusnya # I_1 = (- oo, 0 # dan # I_2 = 0, + oo) #

#g (I_1) = g ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3, + oo) #

#g (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3, + oo) #

karena

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

# | sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Menggunakan teorema squeeze / sandwich yang kita miliki

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

Karena itu, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

Dengan proses yang sama kita berakhir

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Namun, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Karena itu, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Kisaran # g # akan:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) uug (I_2) = 3, + oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # begitu # g # tidak memiliki akar # RR #

  # g # kontinu dalam # RR # dan tidak punya solusi. Karena itu, # g # mempertahankan masuk # RR #

Itu berarti

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Demikian, #g (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Hasil dari #g (x)> 0 #, # x ##di## RR #

Dan #f '' (x)> 0 #, # x ##di## RR #

#-># # f # adalah cembung # RR #

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Diberikan #y = f (x) # radius kelengkungan kurva diberikan oleh

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # begitu diberikan

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # kita punya

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # atau

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # atau

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # atau

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) #

sekarang menganalisis #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # kita punya

#min g (x) = 0 # untuk #x dalam RR # begitu #g (x) ge 0 # dan kemudian kelengkungan di

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # tidak mengubah tanda jadi kami menyimpulkan itu #f (x) # epigraf berbentuk cembung # RR #