Berapakah banyaknya akar sebenarnya dari suatu persamaan yang melintasi / menyentuh sumbu x satu kali?

Menjawab:

Beberapa pengamatan …

Penjelasan:

Catat itu #f (x) = x ^ 3 # memiliki sifat:

• #f (x) # adalah derajat #3#

• Satu-satunya nilai nyata # x # untuk itu #f (x) = 0 # aku s # x = 0 #

Kedua sifat itu saja tidak cukup untuk menentukan nol pada # x = 0 # adalah multiplisitas #3#.

Sebagai contoh, pertimbangkan:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Perhatikan bahwa:

• #g (x) # adalah derajat #3#

• Satu-satunya nilai nyata # x # untuk itu #g (x) = 0 # aku s # x = 0 #

Tetapi banyaknya dari nol #g (x) # di # x = 0 # aku s #1#.

Beberapa hal yang bisa kita katakan:

• Polinomial derajat #n> 0 # memiliki persis # n # nol kompleks (mungkin nyata) menghitung multiplisitas. Ini adalah konsekuensi dari Teorema Dasar Aljabar.

• #f (x) = 0 # hanya bila # x = 0 #, namun derajatnya #3#begitu juga #3# nol menghitung multiplisitas.

• Karena itu nol pada # x = 0 # harus multiplisitas #3#.

Mengapa hal yang sama tidak benar #g (x) #?

Itu derajat #3#, jadi memiliki tiga nol, tetapi dua di antaranya adalah nol kompleks yang tidak nyata, nama # + - i #.

Cara lain untuk melihat ini adalah dengan mengamati itu # x = a # adalah nol #f (x) # jika dan hanya jika # (x-a) # adalah faktor.

Kami menemukan:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Itu adalah: # x = 0 # adalah nol #3# waktu habis.