Bagaimana cara membuktikan bahwa seri tersebut konvergen?

Menjawab:

Konvergen oleh Uji Perbandingan Langsung.

Penjelasan:

Kita dapat menggunakan Uji Perbandingan Langsung, sejauh yang kita miliki

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, seri dimulai pada satu.

Untuk menggunakan Uji Perbandingan Langsung, kita harus membuktikannya # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # positif pada # 1, oo) #.

Pertama, perhatikan bahwa pada interval # 1, oo), cos (1 / k) # positif. Untuk nilai #x # cosx # berada di kuadran pertama (dan karena itu positif). Ya, untuk #k> = 1, 1 / k begitu, #cos (1 / k) # memang positif.

Selanjutnya, bisa kita katakan #cos (1 / k) <= 1 #, sebagai #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Kemudian, kita dapat mendefinisikan urutan baru

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # untuk semua # k. #

Baik, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Kami tahu ini konvergen oleh # p- #tes seri, itu dalam bentuk # sum1 / k ^ p # dimana # p = 2> 1 #.

Kemudian, karena seri yang lebih besar bertemu, maka seri yang lebih kecil juga harus.

Menjawab:

Itu menyatu dengan uji perbandingan langsung (lihat di bawah untuk detail).

Penjelasan:

Ketahuilah bahwa kisaran cosinus adalah -1,1. Lihat grafik #cos (1 / x) #:

grafik {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Seperti yang Anda lihat, maksimum nilai yang akan dicapai ini adalah 1. Karena kita hanya mencoba membuktikan konvergensi di sini, mari kita tetapkan pembilangnya menjadi 1, meninggalkan:

# sum1 / (9k ^ 2) #

Sekarang, ini menjadi masalah uji perbandingan langsung yang sangat sederhana. Ingat apa yang dilakukan uji perbandingan langsung:

Pertimbangkan seri yang sewenang-wenang #sebuah# (kita tidak tahu apakah itu menyatu / menyimpang), dan seri yang kita tahu konvergensi / divergensi, # b_n #:

Jika #b_n> a_n # dan # b_n # konvergen, lalu #sebuah# juga bertemu.

Jika #b_n <a_n # dan # b_n # menyimpang, lalu #sebuah# juga menyimpang.

Kita dapat membandingkan fungsi ini #b_n = 1 / k ^ 2 #. Kita dapat melakukan ini karena kita tahu itu menyatu (karena uji-p).

Jadi sejak itu # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, dan # 1 / k ^ 2 # konvergen, kita dapat mengatakan bahwa seri konvergen

Tapi, tunggu, kami hanya membuktikan bahwa seri ini konvergen ketika pembilang = 1. Bagaimana dengan semua nilai lainnya #cos (1 / k) # bisa mengambil? Nah, ingat bahwa 1 adalah maksimum nilai yang bisa diambil oleh pembilang. Jadi, karena kami telah membuktikan bahwa ini konvergen, kami secara tidak langsung telah membuktikan bahwa seri ini telah konvergen untuk nilai apa pun dalam pembilang.

Semoga itu membantu:)