Kami memiliki atap setengah silinder dengan jari-jari r dan tinggi r yang dipasang di atas empat dinding persegi panjang dengan ketinggian h. Kami memiliki 200π m ^ 2 lembaran plastik untuk digunakan dalam konstruksi struktur ini. Berapa nilai r yang memungkinkan volume maksimum?

Menjawab:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Penjelasan:

Biarkan saya nyatakan kembali pertanyaan yang saya pahami.

Asalkan luas permukaan objek ini adalah # 200pi #, maksimalkan volume.

Rencana

Mengetahui luas permukaan, kita bisa mewakili ketinggian # h # sebagai fungsi jari-jari # r #, maka kita dapat merepresentasikan volume sebagai fungsi dari hanya satu parameter - radius # r #.

Fungsi ini perlu dimaksimalkan menggunakan # r # sebagai parameter. Itu memberi nilai # r #.

Area permukaan mengandung:

4 dinding yang membentuk permukaan sisi paralelepiped dengan perimeter alas # 6r # dan tinggi # h #, yang memiliki luas total # 6rh #.

1 atap, setengah dari permukaan sisi silinder jari-jari # r # dan tinggi # r #, yang memiliki luas #pi r ^ 2 #

2 sisi atap, setengah lingkaran jari-jari # r #, total area yang ada #pi r ^ 2 #.

Total luas permukaan yang dihasilkan dari suatu objek adalah

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Mengetahui ini setara # 200pi #, kami dapat mengekspresikan # h # istilah dari # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Volume objek ini memiliki dua bagian: Di bawah atap dan di dalam atap.

Di bawah atap kami memiliki paralelepiped dengan area pangkalan # 2r ^ 2 # dan tinggi # h #, itu volumenya

# V_1 = 2r ^ 2j = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

Di dalam atap kami memiliki setengah silinder dengan jari-jari # r # dan tinggi # r #, volumenya adalah

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Kita harus memaksimalkan fungsinya

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

yang terlihat seperti ini (bukan skala)

grafik {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Fungsi ini mencapai maksimum ketika turunannya sama dengan nol untuk argumen positif.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

Di daerah #r> 0 # sama dengan nol saat # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Itu adalah jari-jari yang memberikan volume terbesar, mengingat luas permukaan dan bentuk benda.

Dua atap segitiga serupa. Rasio sisi yang sesuai dari atap ini adalah 2: 3. Jika ketinggian atap yang lebih besar adalah 6,5 kaki, berapakah ketinggian yang sesuai dari atap yang lebih kecil?

4.33cm kira-kira Rasio sisi segitiga yang sama sama dengan rasio ketinggian yang sesuai Jadi, 2: 3 = x: 6.5 2/3 = x / 6.5 2/3 * 6.5 = x 4.33cm kira-kira = x

Berapakah tingkat perubahan lebar (dalam kaki / detik) ketika tingginya 10 kaki, jika tingginya menurun pada saat itu pada kecepatan 1 kaki / detik. Persegi panjang memiliki tinggi yang berubah dan lebar yang berubah , tetapi tinggi dan lebar berubah sehingga area persegi panjang selalu 60 kaki persegi?

Tingkat perubahan lebar dengan waktu (dW) / (dt) = 0,6 "ft / s" (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx (dh) / dt (dh) / (dt) ) = - 1 "ft / s" Jadi (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx-1 = - (dW) / (dh) Wxxh = 60 W = 60 / h (dW) / ( dh) = - (60) / (h ^ 2) Jadi (dW) / (dt) = - (- (60) / (h ^ 2)) = (60) / (h ^ 2) Jadi ketika h = 10 : rArr (dW) / (dt) = (60) / (10 ^ 2) = 0,6 "ft / s"

Di puncak gunung, naik 784 1/5 m. di atas permukaan laut, adalah menara dengan ketinggian 38 1/25 m. Di atap menara ini adalah penangkal petir dengan ketinggian 3 4/5 m. Berapa ketinggian di atas laut di bagian paling atas dari penangkal petir?

826 1 / 25m Cukup tambahkan semua ketinggian: 784 1/5 + 38 1/25 + 3 4/5 Pertama tambahkan seluruh angka tanpa fraksi: 784 + 38 + 3 = 825 Tambahkan fraksi: 1/5 + 4 / 5 = 1 1 + 1/25 = 1 1/25 825 + 1 1/25 = 826 1 / 25m