Berapa kisaran fungsi kuadratik?

Menjawab:

Kisaran #f (x) = kapak ^ 2 + bx + c # aku s:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "if" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "jika" a <0):} #

Penjelasan:

Diberi fungsi kuadratik:

#f (x) = kapak ^ 2 + bx + c "" # dengan #a! = 0 #

Kami dapat melengkapi kotak untuk menemukan:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Untuk nilai nyata # x # istilah kuadrat # (x + b / (2a)) ^ 2 # tidak negatif, mengambil nilai minimumnya #0# kapan #x = -b / (2a) #.

Kemudian:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Jika #a> 0 # maka ini adalah nilai minimum yang mungkin #f (x) # dan kisaran #f (x) # aku s # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Jika #a <0 # maka ini adalah nilai maksimum yang dimungkinkan #f (x) # dan kisaran #f (x) # aku s # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Cara lain untuk melihat ini adalah membiarkan #y = f (x) # dan lihat apakah ada solusi untuk # x # istilah dari # y #.

Diberikan:

#y = kapak ^ 2 + bx + c #

Mengurangi # y # dari kedua sisi untuk menemukan:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Diskriminan #Delta# persamaan kuadrat ini adalah:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Untuk mendapatkan solusi nyata, kami membutuhkan #Delta> = 0 # dan sebagainya:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Menambahkan # 4ac-b ^ 2 # ke kedua sisi untuk menemukan:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Jika #a> 0 # maka kita bisa membagi kedua sisi dengan # 4a # mendapatkan:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Jika #a <0 # maka kita dapat membagi kedua belah pihak dengan # 4a # dan membalikkan ketimpangan untuk mendapatkan:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #