Jari-jari dua lingkaran konsentris adalah 16 cm dan 10 cm. AB adalah diameter lingkaran yang lebih besar. BD bersinggungan dengan lingkaran kecil yang menyentuhnya di D. Berapa panjang AD?

Menjawab:

#bar (AD) = 23.5797 #

Penjelasan:

Mengadopsi asal #(0,0)# sebagai pusat bersama untuk # C_i # dan # C_e # dan menelepon # r_i = 10 # dan # r_e = 16 # titik singgung # p_0 = (x_0, y_0) # berada di persimpangan #C_i nn C_0 # dimana

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

sini # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Memecahkan untuk #C_i nn C_0 # kita punya

# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Mengurangkan yang pertama dari persamaan kedua

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # begitu

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # dan # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Akhirnya jarak yang dicari adalah

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

atau

#bar (AD) = 23.5797 #

Penjelasan:

Jika #bar (BD) # bersinggungan dengan # C_i # kemudian #hat (ODB) = pi / 2 # jadi kita bisa menerapkan pythagoras:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # menentukan # r_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Inti nya # D # koordinat, disebut # (x_0, y_0) # harus diperoleh sebelum menghitung jarak yang dicari #bar (AD) #

Ada banyak cara untuk melakukan itu. Metode alternatif adalah

# y_0 = dosa bar (BD) (topi (OBD)) # tapi #sin (hat (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

kemudian

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # dan

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Sesuai data yang diberikan gambar di atas diambil.

O adalah pusat umum dari dua lingkaran konsentris

#AB -> "diameter lingkaran yang lebih besar" #

# AO = OB -> "jari-jari lingkaran yang lebih besar" = 16 cm #

#DO -> "jari-jari lingkaran yang lebih kecil" = 10cm #

#BD -> "bersinggungan dengan lingkaran yang lebih kecil" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Membiarkan # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

Di #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Menerapkan hukum kosinus di #Delta ADO # kita mendapatkan

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #