Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) pertanyaan baru ?

#Sebuah)#

Anda hanya perlu meminumnya #Psi ^ "*" Psi #.

#color (blue) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = warna (biru) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Periode ini dapat ditemukan dengan sedikit usaha, hanya dengan terlebih dahulu mengetahui energi, yang merupakan konstanta gerakan.

Energi dari # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # aku s # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #, dan energi dari # phi_2 # aku s # 4E_1 #. Karena itu, frekuensinya # omega_2 # dari # phi_2 # empat kali lipat dari # phi_1 # (# omega_1 #).

Akibatnya, titik # T_1 = (2pi) / (omega_1) # dari # phi_1 # empat kali lipat dari # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, dan juga merupakan periode # phi_2 #.

Periode demikian #color (blue) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Saya akan membiarkan Anda memasukkan yang ini sebagai diri Anda #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. Anda tidak perlu melakukan apa pun dengan itu …

Kami tahu itu #T = (2pi) / (omega_1) #, dan itu # (iEt) / ℏ = iomegat #jadi

#E_n = omega_nℏ #.

Hasil dari, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

dan

#color (biru) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = warna (biru) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

Peluang menemukan partikel di # 0, L / 2 # diberikan sebagai

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Dua suku pertama simetris dengan setengah amplitudo, dan hasil #50%# secara keseluruhan.

Istilah ketiga akan memiliki probabilitas keadaan stasioner # 4 / (3pi) #, dan # cos # adalah faktor fase yang berubah-ubah. Dengan demikian, probabilitas keseluruhannya adalah

# = warna (biru) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (blue) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Tidak ada solusi sepele untuk ini … Ini ternyata:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = warna (biru) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#f) #

Di #x = L / 2 #, itu #dosa# istilah pergi ke #sin (pi / 2) = 1 # dan untuk #sin (pi) = 0 #masing-masing.

Sejak #sin (pi) = 0 #, bagian yang tergantung waktu dari #Psi ^ "*" Psi # menghilang dan bagian waktu-independen tetap ada # 1 / L # sebagai kepadatan probabilitas.