Apa itu GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 +1, 2 ^ 8 +1)?

Menjawab:

Pembagi umum terbesar #2^32-2^24+2^16-2^8+1# dan #2^8+1# aku s #1#

Penjelasan:

Perhatikan bahwa:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

adalah bilangan prima - sebenarnya salah satu dari beberapa bilangan prima Fermat yang dikenal.

Jadi satu-satunya kemungkinan faktor umum #2^8+1# dan #2^32-2^24+2^16-2^8+1# adalah #1# dan #257#.

Namun, seperti yang telah Anda catat dalam pertanyaan:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

berbentuk:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

Satu faktor # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # dari #2^40+1# sesuai dengan akar kelima nyata persatuan dan # (x + y) # tidak secara otomatis menjadi faktor kuartik yang tersisa # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # yang faktor-faktor linier lainnya semuanya kompleks tidak nyata.

Kami dapat membagi secara manual # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # oleh # x + y # untuk mendapatkan sisa polinomial dan kemudian gantikan # x = 2 ^ 8 # dan # y = 1 # untuk memeriksa bahwa ini bukan kasus khusus …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2t + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Jadi sisanya adalah:

# 5y ^ 4 = 5 (warna (biru) (1)) ^ 4 = 5 #

Karena sisanya adalah nol, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# dan #2^8+1# tidak memiliki faktor umum yang lebih besar dari #1#.