Berapa kecepatan partikel untuk t = 0 hingga t = 10 yang akselerasi adalah veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Menjawab:

Kecepatan rata-rata: # 6.01 xx 10 ^ 3 # #"Nona"#

Kecepatan saat itu #t = 0 # # "s" #: #0# #"Nona"#

Kecepatan di #t = 10 # # "s" #: # 2.40 xx 10 ^ 4 # #"Nona"#

Penjelasan:

Saya akan menganggap Anda maksud kecepatan rata-rata dari #t = 0 # untuk #t = 10 # # "s" #.

Kami diberi komponen akselerasi partikel, dan diminta untuk menemukan kecepatan rata-rata di atas yang pertama #10# detik dari gerakannya:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

dimana

#v_ "av" # adalah besarnya kecepatan rata-rata, dan
# Deltar # adalah perubahan posisi objek (dari #0# # "s" # untuk #10# # "s" #).

Karena itu kita harus menemukan posisi objek pada dua kali ini.

Kita harus menurunkan persamaan posisi dari persamaan percepatan ini, dengan mengintegrasikannya dua kali:

Integrasi pertama:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hatk # (kecepatan)

Integrasi kedua:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hatk # (posisi)

Posisi awal diasumsikan berada di tempat asal, jadi mari kita tancapkan #10# untuk # t # dalam persamaan posisi:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

Kami kemudian dapat membagi persamaan kecepatan rata-rata menjadi komponen:

#v_ "av-x" = (Deltax) / (10 "s") = (2500 "m") / (10 "s") = warna (merah) (250 # #warna (merah) ("m / s" #

#v_ "av-y" = (Deltay) / (10 "s") = (2500/3 "m") / (10 "s") = warna (biru) (250/3 # #warna (biru) ("m / s" #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = warna (hijau) (- 6000 # #warna (hijau) ("m / s" #

Menggunakan komponen-komponen ini, kita dapat menemukan besarnya vektor kecepatan rata-rata:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2) #

# = warna (ungu) (6.01 xx 10 ^ 3 # #color (ungu) ("m / s" #

(Inilah seketika bagian kecepatan).

Untuk menemukan kecepatan sesaat di #t = 0 # dan #t = 10 # # "s" #, pertama mari kita tancapkan waktu ini ke persamaan kecepatan yang sebelumnya terintegrasi:

#t = 0 # # "s" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s") ^ 2) hatj - (2 (0 "s") ^ 4 + 400 (0 "s")) hatk #

# = warna (merah) (0 # #warna (merah) ("m / s" #

#t = 10 # # "s" #

#vecv = ((10 "s") ^ 3) hati + (5/2 (10 "s") ^ 2) hatj - (2 (10 "s") ^ 4 + 400 (10 "s")) hatk #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 "m / s") hatk #

Dengan demikian besarnya kecepatan ini

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24000 "m / s") ^ 2) #

# = warna (biru) (2.40 xx 10 ^ 4 # #warna (biru) ("m / s" #