Berapa kisaran y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Pertama mari kita perhatikan domainnya:

Untuk nilai apa # x # Apakah fungsi didefinisikan?

Pembilangnya # (1-x) ^ (1/2) # hanya ditentukan saat # (1-x)> = 0 #. Menambahkan # x # untuk kedua sisi ini Anda temukan #x <= 1 #.

Kami juga mengharuskan penyebutnya bukan nol.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # adalah nol saat #x = -1 / 2 # dan kapan #x = -1 #.

Jadi domain dari fungsinya adalah

# {x dalam RR: x <= 1 dan x! = -1 dan x! = -1/2} #

Menetapkan #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # di domain ini.

Mari kita perhatikan setiap interval berkesinambungan di domain secara terpisah:

Dalam setiap kasus, biarkan #epsilon> 0 # menjadi angka positif kecil.

Kasus (a): #x <-1 #

Untuk nilai negatif besar # x #, #f (x) # kecil dan positif.

Di ujung lain dari interval ini, jika #x = -1 - epsilon # kemudian

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / ((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # sebagai #epsilon -> 0 #

Maka untuk #x <-1 # kisaran #f (x) # aku s # (0, + oo) #

Kasus (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # sebagai #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Maka untuk # -1 / 2 <x <= 1 # kisaran #f (x) # aku s # 0, + oo) #

Kasing (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / ((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # sebagai #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # sebagai #epsilon -> 0 #

Jadi pertanyaan yang menarik adalah berapa nilai maksimum #f (x) # dalam interval ini. Untuk menemukan nilai # x # di mana hal ini terjadi, cari turunan menjadi nol.

# d / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Ini akan menjadi nol ketika pembilangnya nol, jadi kami ingin menyelesaikan:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Lipatgandakan dengan # 2 (1-x) ^ (1/2) # mendapatkan:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Itu adalah:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

yang berakar # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Dari akar-akar ini, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # jatuh dalam interval yang bersangkutan.

Gantikan ini kembali #f (x) # untuk menemukan maksimum #f (x) dalam interval ini (sekitar -10).

Ini kelihatannya terlalu rumit bagi saya. Sudahkah saya membuat kesalahan?

Menjawab: Kisaran fungsi adalah # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

Untuk #x in (-oo, -1) # #-># #y in (0, oo) #

Untuk #x in (-1, -0.5) # #-># #y in (-oo, -10.58 #

Untuk #x in (-0.5, 1 # #-># #y dalam 0, oo) #